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TEIL IV. DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS in:

Felix Pachlatko

Die letzten fünf gedruckten Werke von Johann Sebastian Bach, page 223 - 258

Innere und übergreifende Strukturen

1. Edition 2019, ISBN print: 978-3-8288-4416-2, ISBN online: 978-3-8288-7422-0, https://doi.org/10.5771/9783828874220-223

Tectum, Baden-Baden
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TEIL IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 225 IV.1. Das Magische Quadrat IV.1.1. Die Voraussetzungen für das Magische Quadrat Bachs Freude an der Lösung kombinatorischer Probleme findet gerade im hier erörterten Spätwerk eine fulminante musikalische Sprache. Nicht nur die verschiedenartigsten Formen von Kanons sind kombinatorische Meisterstücke, sondern auch die zahlreichen, höchst komplizierten Fugen. Die Sechs-Chorale und die Canonischen Verænderungen zeigen darüber hinaus, wie außerordentlich virtuos Bach Text in Musik umsetzen konnte. Nach der Darstellung der Goldenen Schnitte in jedem der oben besprochenen Zyklen wird nachfolgend ein Konstrukt dargestellt, das auf einer nicht direkt wahrnehmbaren Metaebene erstellt ist. Dieses Konstrukt, es handelt sich um ein Magisches Quadrat, hat ausschließlich mathematisch-kombinatori schen Charakter und nichts zu tun mit Zahlensymbolik, deren sich Bach be kanntlich durchaus lustvoll bediente.364 Man kann es nachrechnen und es ist eindeutig. Allfällige Zweifel können höchstens bezüglich einer Beabsichti gung seiner Konstruktion erhoben werden. Angesichts der Notwendigkeit äu- ßerst exakter Bedingungen für eine mögliche Konstruktion dürfte die Frage nach der Zufälligkeit nur mit Mitteln der Wahrscheinlichkeitsrechnung, also auf mathematischer Ebene, lösbar sein. Der Niederländer Henk Dieben war nach Vorarbeiten von Wilhelm Werker der erste, der um 1938/39 in Werken Bachs Proportionen, Akrosticha, lateinische Nomina und später auch Magische Figuren entdeckte.365 Sein Landsmann Jacques Bronkhorst begann schon vor Diebens Tod 1956 an dessen Material 364 Die Kombinatorik war zu Bachs Zeit eine Disziplin der Mathematik und das Er stellen eines Magischen Quadrates mithin eine mathematische Aufgabe. In der schwierigen Frage nach von Bach intendierter Zahlensymbolik führt Grassl (2001) einen Rundumschlag gegen die ganze Sache. Neben ernstzunehmenden Bedenken ist seine Ablehnungsbegründung ein Muster an Vermengung von unterschiedlich zu bewertenden Fakten und an Missachtung von Denk- und Bedeu tungshierarchien. Insbesondere wird das grundsätzliche Problem der sich immer wieder neu stellenden Frage einer angemessenen methodischen Arbeitsweise gar nicht erst diskutiert. Siehe Grassl. 365 Siehe Kramer, S. 5. 226 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS weiter zu arbeiten und machte weitere Entdeckungen. Sein über diese Entde ckungen verfasstes Buch wurde jedoch nie veröffentlicht. Als sich 1981 im Buch Bach en het getal von van Houten & Kasbergen Forschungsergebnisse fanden, die von Bronkhorst stammten und durch die Autoren ohne sein Wissen und als eigene Entdeckungen veröffentlicht wurden, kam es zu Streitigkeiten bezüglich des geistigen Eigentums. Dadurch kam die Arbeit van Houtens & Kasbergens in Wissenschaftskreisen teilweise in Verruf.366 Leider wurden dadurch richtige und wertvolle Forschungsergebnisse, die Dieben und Bronkhorst erarbeitet hatten, aber auch solche, die von van Houten und Kasbergen stammten, nicht zur Kenntnis genommen. Es ist Thijs Kramers akribischer und äußerst genauer Arbeit über Zahlenfiguren in Bachs Werk zu verdanken, in vielen Fragen dieser Problematik die Spreu vom Weizen getrennt und weitere Forschungsergebnisse hinzugefügt und veröffentlicht zu haben. Kramer beschreibt in seiner Studie auch ein Magisches Quadrat 3. Ordnung, das mit 9 aus je 3 Taktzahlen zusammengesetzten Termen der 27 Teilwerke des 3. Teils der Clavier-Übung konstruiert ist.367 Meine Dissertation über Bachs Orgel=Büchlein führt diese Arbeiten weiter und bildet mit der Arbeit von Thijs Kramer die Grundlage für das Verständnis der nachfolgenden Darstellung. Das Zahlenmaterial für die Konstruktion des hier zu zeigenden Magischen Quadrates wird von den Taktzahlen der einzelnen Werke der oben dargestell ten Zyklen gebildet. Es sind insgesamt 49 Teilwerke, deren Taktzahlen die Konstruktion eines Quadrates mit 7 Zahlen pro Zeile und Spalte ermöglichen . Zunächst soll diese Zahlengrundlage an jedem einzelnen Werk überprüft und gegebenenfalls erörtert werden. Es stellt sich dabei die grundsätzliche Frage, wie mit Wiederholungen verfahren wird. Dieben und Bronkhorst haben sich entschieden, teilweise nur die geschriebenen Takte zu zählen und nicht die klingenden.368 Obwohl diese Zählweise zu erstaunlichen Ergebnissen geführt hat, ist sie m. E. im Kontext dieser Arbeit nicht brauchbar.369 Mit den Canonischen Verænderungen und den Sechs Choralen liegen Vertonungen von Texten vor, bei denen die Wiederholungs- 366 Siehe Kramer, S. 1-30. 367 Siehe Kramer, S. 184 f. Dies ist, weil es das kleinste Quadrat mit gleichzeitig großen Termen ist, das m. E. komplexeste bisher bei Bach gefundene Quadrat. 368 So z. B. im WTC I und der KF. Siehe Kramer, z. B. S. 92 und S. 188. IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 227 frage a priori geklärt ist. Die Grundlage der Canonischen Verænderungen, das Weihnachtslied Vom Himmel hoch, da komm ich her, hat keine Wiederholungen. Die Choräle 1, 3 und 6 in Sechs Chorale sind Lieder in Barform (A/A/B). Die Choräle 1 und 3 weisen am Ende des Teils A das übliche Wiederholungszeichen auf, während in Nummer 6 die Wiederholung des Teils A auskomponiert und -notiert ist. Da aus Analogiegründen innerhalb einer zu zählenden Struktur die selbe Zählmethode angewandt werden sollte, werden bei allen hier involvierten Werken sämtliche Wiederholungen gezählt. Nach der Besprechung des Zahlenbefunds der einzelnen Werke werden die Ergebnisse in einer Liste aufgeführt. Warum hier nur die Zählung der Taktzahlen und nicht auch diejenige der Schlagzahlen zum Ziel führt, wird weiter unten besprochen. IV.1.2. Canon triplex In der Frage der Zählweise bei den Canones ergibt sich ein grundsätzliches Problem. Die notierte Fassung ist stets kompositorisch unvollständig. Erst die Ausführung erschließt die musikalische Form. Freilich ist bei vielen hier er- örterten Canones kein eindeutiges Ende definiert. Die Canones perpetui etwa haben, wie ihr Name sagt, überhaupt kein Ende. Zweifelsfreie Ausgangslage für Taktzählungen kann deshalb nur die tatsächlich notierte Variante sein. Die Änderung des Ct vom 2/2-Takt der Frühfassung zum 4/4-Takt der endgültigen Form dürfte rein numerische Gründe haben. Mit dieser Umschrift verdoppelt sich die Schlagzahl. Abbildung (Tabelle) IV.1. Anzahl der Takte, Schläge und Achtel im Ct. 369 Die Frage, welche Zählweise richtig ist, ist nicht grundsätzlich beantwortbar. Es ist durchaus denkbar, dass Bach am selben Objekt mehrere Zählweisen anwandte. Siehe Kramer a.a.O. Taktart Taktanzahl Schlaganzahl Achtelanzahl = 3 = 12 = 24 Canon triplex 4/4 Der Canon triplex ist ein Einzelwerk mit 3 Takten. 228 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS IV.1.3. Musicalisches Opfer Abbildung (Tabelle) IV.2. Anzahl der Takte, Schläge und Achtel im MO. Taktart Taktanzahl Schlaganzahl Achtelanzahl Ricercar (a 3) 2/2 185 370 1480 Canon perpetuus (1) 4/4 5 20 40 Sonate Largo 3/4 96 288 576 Allegro 2/4 249 498 996 Andante 4/4 30 120 240 Allegro 6/8 113 226 678 Canon perpetuus (2) 2/2 32 64 256 Canones diversi Canon 1 4/4 18 72 144 Canon 2 4/4 8 32 64 Canon 3 4/4 4 16 32 Canon 4 2/2 8 16 64 Canon 5 4/4 8 32 64 Fuga canonica 2/2 78 156 624 Ricercar á 6 2/1 103 206 1648 Canon à 2 2/2 16 32 128 Canon á 4 4/4 28 112 224 Gesamtsumme = 981 = 2260 = 7258 Das Musicalische Opfer hat 16 Teilwerke mit insgesamt 981 Takten. IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 229 IV.1.4. Einige canonische Verænderungen über das Weynacht-Lied: Vom Himmel hoch da komm ich her Die Basis für die Ermittlung der Taktzahlen bildet der Druck und nicht die nur vage datierbare autographe Fassung. Das Werk gliedert sich in fünf Variatio nen, wobei die fünfte eine Variationengruppe bildet. Die ersten vier Variationen verwenden jeweils ein frei gewähltes Kanonthema, dem sich der Cantus firmus hinzugesellt. Die Themen sind dabei vom Cantus firmus abgeleitet oder enthalten Elemente von ihm.370 Die fünfte Variation verwendet den Cantus firmus als Kanonthema und besteht aus vier vollständigen kanonischen Durchführungen und einem alla stretta, in dem alle Choralzeilen des Cantus firmus gleichzeitig erscheinen. Der vierten Kanondurchführung ist vor dem Eintritt des alla stretta eine überzählige letzte Choralzeile angehängt. Der Aufbau des Werkes zeigt verschiedene Gliederungen und lässt demnach verschiedene Zähl möglichkeiten zu. Die direkt ins Auge fallende Gliederung ist fünfteilig, indem je de der Variationen überschrieben ist mit Variatio 1-5. Es kann jedoch auch nach der Anzahl der vertonten Strophen gezählt werden. Wie in Kapitel III.3 dargestellt, sind in den Variationen die Strophen 2-15 vertont und im Canon triplex die Strophe 1.371 Demnach bilden die Cantus-firmus-Kanons der fünften Variation jeweils ein Strophenpaar. Auch das alla stretta vertont eine vollständige Strophe. Das davor auftretende Cantus-firmus-Fragment muss auch als vollständig vertonte Strophe betrachtet werden. Da die Cantus-firmus-Kanons überlappen, ist nicht eindeutig auszumachen, wie gezählt werden muss. Dies könnte als Hinweis gedeutet werden, dass die Cantus-firmus-Kanons als Einheit, also als 5. Variation zu zählen sind. Man könnte daraus allerdings auch schließen, dass Bach dem Entscheid, wie Überlappungen gezählt werden sollen, einen gewissen Spielraum lässt, um auf diese Weise (auch) bei der Konstruktion eines Magischen Quadrates etwas Spielraum zu haben. Im Kontext der Gesamtkonzeption zeigt sich jedoch, dass Bach mit 5 Variationen rechnet und so innerhalb der Gesamtanlage auf 49 Teilwerke kommt. 370 Die Kanonthemen der Variationen 1-3 sind unmittelbar von der letzten bzw. ers ten Choralzeile abgeleitet. Der Augmentationskanon von Variation 4 enthält Ele mente der ersten Choralzeile. 371 Siehe auch Clement A. 230 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS Abbildung (Tabelle) IV.3. Anzahl der Takte, Schläge und Achtel in den CV. Die Canonischen Verænderungen haben 5 Teilwerke mit insgesamt 166 Takten. IV.1.5. Sechs Chorale (Schübler-Choräle) Wie in der Einleitung zu diesem Kapitel dargelegt wurde, ist für die Summierung der Taktzahlen das Zählen der Wiederholungen in den einzelnen Chorälen unabdingbar, da in den Wiederholungen vorgegebene Texte vertont sind. Abbildung (Tabelle) IV.4. Anzahl der Takte, Schläge und Achtel in den SCh. Taktart Taktanzahl Schlaganzahl Achtelanzahl Variatio 1 18 72 216 Variatio 2 23 92 184 Variatio 3 27 108 216 Variatio 4 42 168 336 Variatio 5 56 224 448 Gesamtsumme: = 166 = 664 = 1400 12/8 4/4 4/4 4/4 4/4 Taktart Taktanzahl Schlaganzahl Wachet auf rufft 593 Wo soll ich fliehen hin, 33 132 264 Wer nur den lieben 50 200 400 Meine Seele erhebt 35 70 210 59 236 472 66 198 594 Gesamtsumme: = 2533 Achtelanzahl uns die Stimme 4/4 741/8 (2961/8) 297 od. Auf meinen lieben Gott 4/4 Gott laesst walten 4/4 den Herren 6/8 Ach bleib beÿ uns Herr Jesu Christ 4/4 Komst du nun Jesu vom Himmel herunter 9/8 = 3171/8 = 1133 Die Sechs Chorale haben 6 Teilwerke mit insgesamt 317 Takten. IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 231 IV.1.6. Die Kunst der Fuge Die Darstellungen der Goldenen Schnitte innerhalb der einzelnen der letzten fünf Drucke und ergänzend, unter Vorbehalt, das Aufzeigen der Widmungen führen zum Schluss, dass auch die Druckfassung der KF mit hoher Wahrscheinlichkeit eine von Bach selbst geplante Fassung darstellen muss. Zu klären wäre noch, wie weit der Stich bei Bachs Tod tatsächlich schon fertig oder in Abschlussarbeit war. Wenn somit die zahlreichen stoßenden Ungereimtheiten als Bachs letzter Wille zu konstatieren sind, bleibt die Frage, warum er dies getan hat. Diese Ungereimtheiten seien hier nochmals, größtenteils in Wiederholung von Kapitel III.5, kurz erwähnt: Weshalb hat Bach als Contrapunctus 14 die Frühfassung des Contrapunctus 10 genommen und nicht einen eigenständigen Contrapunctus komponiert?372 Weshalb hat Bach die um eine vierte Stimme erweiterte dreistimmige Spie gelfuge dazugenommen? Weshalb stellt Bach ans Ende eine Fuge, die nicht vollendet ist, und weshalb kürzt er diese Fuge für den Druck gegenüber der autographen Fassung um 6½ Takte, sodass just der Beginn der Kombination der drei Themen fehlt? Weshalb bildet der Choral Wenn wir in hoechsten Noethen als artfremdes Werk den Schluss? Es dürfte schwierig sein, auf diese Fragen gesicherte Antworten zu finden. So können auch hier nur Vermutungen ausgesprochen werden. Immerhin ergeben die Umstände von Bachs letzter Lebenszeit etliche einigermaßen gesicherte Hinweise. Spätestens ab April 1749 war er nicht mehr bei guter Gesundheit und in seiner Schaffenskraft zeitweilig erheblich eingeschränkt.373 Es gibt aus dieser Zeit von KF keine autographe Fassung, die ein klares Konzept und einen Abschluss des Werkes erkennen lässt. Dies lässt darauf schließen, dass Bach bezüglich seines Vorhabens, dieses Werk in einer aus seiner Sicht abgeschlos senen Form zu hinterlassen, in Zeitnot geriet. Offensichtlich war es ihm wich - 372 Dieser Cp. 14 enthält allerdings Korrekturen, die im Cp. 10 noch nicht enthalten sind. Siehe oben Kapitel III.5. 373 Siehe Wolff P, S. 483 ff. 232 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS tiger, seine letzten fünf Drucke einer inneren Einheit zuzuführen als die KF zu vollenden. Daraus könnte man schließen, dass der Abschluss von KF noch zu weit vom intendierten Konzept entfernt war. Diesen Eindruck legt das Stu dium des Druckes tatsächlich nahe. Die nachfolgend beschriebenen arithmeti schen Strukturen zeigen jedoch, dass Bach explizit diese Einheit der letzten Drucke im Auge hatte und sie anstrebte. Es geht hier in erster Linie um ein anspruchsvolles Magisches Quadrat, einen äußerst genauen Goldenen Schnitt, aber auch, auf mathematisch deutlich weniger anspruchsvoller und darum nicht restlos gesicherter Ebene, um mittels Alphabetzahlen dargestellte Widmungen. Auch hier stellt sich die Frage nach der Zahlengrundlage für diese Konstruktionen. Während die Zahlengrundlagen bei den ersten vier Werken klar sind, zeigt sich die diesbezügliche Unklarheit in KF als Problematik auch in der Gesamtform. In KF ist eine Form sichtbar, die die Spiegelfugen als Einheit betrachtet und sie deshalb nur einmal zählt, und es gibt eine Form, die die Spie gelfugen als Einzelwerke und somit doppelt zählt. Das Problem der Zählweise stellt sich bei den Spiegelfugen deshalb, weil Bach im Autograph die gespiegelten Fugen untereinander schreibt und in einer Akkolade zusammenfasst. Im Druck stehen sie nacheinander. Im Falle der beiden Cp. 12 und 13 handelt es sich aber je nur um eine Komposition, d. h. die Spiegelung war Teil des Kompositionsvorgangs. Etwas anders verhält sich dies bei den vierstimmigen Fassungen des Cp. 13 (Fuga a 2 Clav.). Die Spiegelung ist hier bezüglich der vierten zugefügten Stimme nicht gewährleistet. Dennoch sind die beiden Fugen als echte Spiegelfugen und deshalb als Einheit zu betrachten, weil ihre Grundlage eine echte Spiegelfuge ist. Wie der Druck zeigt, ist aber auch eine Zählweise mit Einzelzählung der Spiegelfugen möglich. Wie oben bereits erwähnt, steht im zweitletzten Takt des Canon alla Decima zu Beginn über beiden Stimmen eine Fermate und zwischen den Systemen die Bemerkung Cadenza. Diese musikalische Anweisung scheint in Widerspruch zu stehen zu den strengen Kontrapunktregeln, die jedem Kanon zugrunde liegen. Da bleibt kein Platz für eine freie Kadenz mit einer mehr oder weniger ausschweifenden Improvisation. Aber gerade die Canones haben ein Schlussproblem, indem ihre Stimmen nicht gleichzeitig enden. So ist ein freies Kadenzieren sachlich denkbar, wenn auch stilistisch unüblich. Oben wurde schon erwähnt und weiter unten wird noch zu zeigen sein, dass Bach diese IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 233 Cadenza im Kontext der KF und ihrer numerischen Struktur als Längenvariable verwendet. Der Kanon kann um eine beliebige Länge der Kadenz ver längert werden. Wir kennen dieses Phänomen bereits aus dem Orgel=Büchlein. Dort ist diese Längenvariable der 5. Choral Puer natus in Bethlehem, an dessen Ende eine Repetition verlangt wird, aber keine klare Schlussbildung ersichtlich ist. Somit bleibt offen, wie oft zu repetieren ist. Diese Längenvariable wird dort für die Konstruktion eines Magischen Quadrates und für die Ermittlung des Goldenen Schnittes benötigt. In KF dürfte die Cadenza im Canon alla Decima die gleiche Funktion haben. Die Zuweisung dieser Funktion ist auch im Lichte der Tatsache zu sehen, dass der Canon alla Decima offensichtlich erst in der letzten Phase der Arbeit an KF entstanden ist, da er mit dem Duodezimenkanon und dem Contrapunctus 4 zusammen nicht autograph überliefert ist. Die Erfordernis einer Längenvariablen hat sich freilich auch erst in dieser letzten Phase gestellt. Die Schlussfuge gibt es in drei Fassungen, wobei zwei Fassungen in dem einen erhaltenen Autograph erkennbar sind. Dieses Autograph war offensichtlich zunächst als Abklatschvorlage gedacht, weil zumindest die ersten vier Seiten eine Reinschrift und die dazu verwendeten Blätter nur auf der einen Seite beschrieben sind.374 Die ersten drei Teile mit der Durchführung je eines der 3 Soggetti sind vollständig überliefert und zählen in der Zweitfassung 232 Takte. Der vierte Teil mit der Kombination der 3 Soggetti bricht am Ende des siebten Taktes ab. Diese Zweitfassung zählt insgesamt 239 Takte und beinhaltet eine bemerkenswerte Korrektur. Unmittelbar am Ende des ersten Teils streicht Bach die letzten beiden Takte 111 und 112 durch und ersetzt sie durch 374 Siehe Wiemer A, S. 10. Abbildung IV.5. J.S. Bach, Canon alla Decima, Schlusstakte. Erstdruck. 234 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS drei unten am Rand der Partitur in Tabulatur notierte neue Takte. Wie Milka überzeugend nachweist, ist der eingefügte Takt für einen sinnvollen Ablauf der Kadenzbildung zwingend notwendig, weil ohne diesen Takt die Subdominante fehlen würde.375 Offensichtlich ging dieser Takt entweder beim Abschreiben verloren, oder wurde, aus welchen Gründen auch immer, absichtlich gestrichen. Im vorliegenden Kontext ist jedoch die Vermutung näherlie gend, dass die Verkürzung und Wiederherstellung um einen Takt numerische Gründe haben könnte und für die Konstruktion des nachfolgend dargestellten Magischen Quadrates notwendig wurde. Aus dem gleichen Grund dürfte die Druckfassung als dritte Fassung sechseinhalb Takte weniger zählen, als die zweite und letzte Fassung des Autographs.376/377 375 Siehe Milka B, S. 18 f. 376 Da es sich beim Magischen Quadrat um ein 7er-Quadrat handelt, hätte theoretisch auch die um sieben Takte längere Zweitfassung verwendet werden können . Nachprüfungen meinerseits, wenn auch nicht vollständige, haben jedoch ergeben, dass diese längere Fassung bei der Konstruktion eines Magischen Quadrates zu unlösbaren Problemen geführt hätte. 377 Butler führt an dieser Stelle Platzgründe für die Verkürzung an. Es ist allerdings fraglich, ob beim Stechen eines derart langen Werkes nicht eine leichte Kompressi on des Druckbildes oder andere Maßnahmen möglich gewesen wären, um die letzten, interessanten sieben Takte doch noch unterzubringen. Siehe Butler B, S. 55. Takte 111 und 112 Takte 111-113 in Tabulatur Abbildung IV.6. J.S. Bach, Fuga a 3 Soggetti, Durchstreichung und Korrektur der Takte 111-113. Autograph. IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 235 Die Frage nach dem Grund, weshalb der Choral Wen wir in hoechsten Noethen in der KF steht, ist etwas komplizierter zu beantworten. Auf der einen Seite, also hinsichtlich arithmetischer Konstruktionen, wird seine Takt- und Schlagzahl benötigt. Diesbezüglich stellt sich aber die Frage, weshalb Bach an seiner Stelle nicht einen weiteren Canon eingefügt hat. Auf der anderen Seite wird damit aber deutlich, dass Bach das Werk mit einer Textbotschaft schließen wollte. Angesichts seines absehbaren Endes bedarf dieser Wunsch kaum einer Begründung. Gleichwohl steht im Vorwort des Druckes von KF eine Begründung.378 Diese ist allerdings an Kleinlichkeit kaum zu überbieten: Man wolle die Käufer dieses gigantischen Kompendiums wegen des fehlenden Schlusses der letzten Fuge mit dem Hinzufügen dieses Chorals schadlos halten. Die Absicht dieser Mitteilung erscheint mir freilich etwas zu vordergründig, als dass sie ernst genommen werden könnte. Auch die Bemerkung im Vorwort (Nachricht) zu KF, Bach habe den Choral in der Blindheit einem Freunde in die Feder diktiert, ist ein Märchen.379 Es ist schwer vorstellbar, dass der Herausgeber nicht genau wusste, dass dies nicht stimmt. Es gilt heute als gesichert, dass dieser Choral mindestens einige Jahre vor Bachs Erblindung entstanden sein muss.380 Allgemein wird er als Weiterentwicklung der Version aus dem Orgel=Büchlein betrachtet.381 Zwei Aspekte sprechen jedoch gegen diese Ansicht. Zum einen trägt er stilistisch die Züge von wesentlich früheren Werken. Es besteht auffallende Verwandtschaft etwa mit Nun danket alle Gott aus der Leipziger- Originalhandschrift. Alle Choralzeilen werden, bevor der c.f. einsetzt, mit einer Vorimitation eingeführt und kadenzieren am Ende des c.f. der jeweiligen Zeile, bevor die nächste Choralzeile wieder vorimitiert wird.382 Die Vorbilder für diese Kompositionsform lernte Bach in früher Jugend in Werken von Pach - 378 Alle später veröffentlichten Begründungen gehen auf diese Quelle zurück. 379 Vielleicht trifft dies für die verbesserte und deshalb später entstandene Fassung am Ende der Leipziger-Originalhandschrift aber tatsächlich zu. Die Änderung des Titels in Vor deinen Thron tret ich pp lässt darauf schließen, dass der Eintrag zu einem Zeitpunkt erfolgte, als Bach das Nahen seines Endes spürte. Diese Ansicht wird dadurch bestärkt, dass der Choral eventuell von Bachs Tochter Lieschen Altnickol geschrieben ist. Siehe Kobayashi C und Tomita, auch Fn. 342. 380 Siehe Wolff G, S. 283-297. 381 Siehe Klotz, S. 102. 236 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS elbel und Buxtehude kennen. Auch wenn Bach selbst in späteren Jahren die Vorimitation gelegentlich wieder verwendet hat,383 ist die Strenge der Form von Wen wir in hoechsten Noethen doch untypisch für die späten Jahre.384 Bedenkt man zum andern, dass die Version im O=B wesentlich geschlossener, auch raffinierter und in der Führung des c.f. eleganter ist, ist schwierig zu begründen, weshalb dies die Vorlage für eine in der Form mehr an ältere Vorbil der angelehnte Version sein soll. Es gibt noch einen weiteren Aspekt, dem bisher zu wenig Beachtung geschenkt wurde. Die erwähnte leicht überarbeitete Version der ersten 25½ Takte dieses Chorals mit dem Titel Vor deinen Thron tret ich am Ende der Leipziger-Originalhandschrift lässt die Vermutung zu, dass dieser Choral ebenfalls zum Fundus der in der Leipziger-Originalhandschrift gesammelten Choräle gehörte. Die Verbesserungen an diesem Choral in der Version der Leipziger-Originalhandschrift sind von großer Subtilität, wie wir sie auch an den Korrekturen der übrigen Choräle der Handschrift feststellen können. Sie zeugen alle von der Meisterschaft der letzten Lebensjahre. Dies bestärkt die Vermutung, dass die Komposition der Frühversion des Chorals, wie sie sich in KF findet, nicht nur wenige Jahre zurückliegen kann, sondern wesentlich älter sein muss. Auch das Vorhandensein einer reichen Zahlensymbolik lässt nicht zwingend auf eine späte Entstehung schließen, da solche Symbolik schon in den frühesten Chorälen des O=B nachweisbar ist.385 382 Der Comes des jeweiligen Vorimitations-Dux folgt stets in der Umkehrung, in der letzten Choralzeile zudem in Verkleinerung. 383 Siehe z. B. Aus tiefer Not schrei ich zu dir BWV 686. 384 Man vergleiche die Neufassung von An Wasserflüssen Babylon BWV 653 in der Leipziger-Originalhandschrift. 385 Siehe Pachlatko, S. 169 ff. IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 237 Abbildung (Tabelle) IV.7. Anzahl der Takte, Schläge und Achtel in KF. Die Kunst der Fuge hat 21 Teilwerke mit insgesamt 2313 Takten, mit den Spiegelfugen doppelt gezählt: 2510 Takten. 1 78 156 624 2 84 168 672 3 72 144 576 4 138 276 1104 5 90 360 6 79 316 632 7 61 244 488 8 188 376 1504 9 130 520 1040 10 120 480 960 11 184 368 1472 12 56 168 672 (13 71 284/142 568 (14) 98 392 784 Can. p. A. 109 218 872 Can. a. O. 179 537 805(.5) Can. a. D. 82+1 328+4 Can. a. DD. 145 290 1160 71 142 284 930 1860 45 180 360 Gesamtsumme: Gesamtsumme mit Spiegelfugen Taktart Taktanzahl Schlaganzahl Achtelanzahl Cp. 2/2 Cp. 2/2 Cp. 2/2 Cp. 2/2 Cp. 4/4 *(720?)728 Cp. 4/4 Cp. 4/4 Cp. 2/2 Cp. 4/4 Cp. 4/4 Cp. 2/2 Cp. (rect. et inv.) 3/2 Cp. ) (rect. et inv.) 4/4 / 2/2 Cp. 4/4 2/2 9/16 4/4 / 12/8 **956+8=964 2/2 Fuga a. 2 Cl. (rect. et inv.) 2/4 Fuga a. 3 Sogg. 4/4 232(1/2) Choral Wen wir in h. N. 4/4 1=2313 1 =6739 1=18129(.5) doppelt gezählt (ohne Cadenza): 2=2510 2 =7329 2=19645(.5) * Im Unterschied zum Autograph ist im Erstdruck die Schlussnote eine Brevis. Vielleicht ist dies ein Druckfehler. Bei den verschiedenen Zählreihen (Takte, Schläge, Achtel) wäre nur die Achtelzählung davon betroffen. **75 Takte haben ungerades und 8 Takte gerades Metrum. Somit werden 75·12 und 8·8 Achtel gezählt: 75 ·12=900 + 8·8= 64 =964. 238 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS Das nachfolgend dargestellte Zahlenquadrat setzt sich also aus folgender Anzahl an Teilwerken und ihren Taktzahlen zusammen: Abbildung (Tabelle) IV.8. Anzahl der Teilwerke und Takte in der Gesamtheit der letzten fünf Drucke. 386 Mit den 49 Taktsummen und der Gesamtsumme 3780 lässt sich ein Magisches Quadrat mit je 7 Zeilen und Spalten und 2 Diagonalen bilden, welche die Konstante 540 (3780:7= 540) haben. Neben den allgemeinen Bedingungen, die für die Konstruktion eines Magischen Quadrates erfüllt sein müssen,387 gelten für Quadrate mit gerader Konstante, deren Termen nicht eine Reihe fortlaufender ganzer Zahlen mit dem Abstand 1 bilden, weitere Voraussetzungen: 386 Erklärung der Bedeutung der Zahl 378 siehe S. 65 und S. 110. Auch die Gesamtsumme von 3977, hier mit 2 =2510 der KF gerechnet, ist Ergebnis zweier Faktoren, die im Kontext immer wieder zu beobachten sind: 3977=41·97. 41 ist Valor von J.S. Bach, 97 ist Valor von Orpheus. 3977 ist jedoch nicht durch 7 teilbar. Somit ist diese Gesamtsumme für die Konstruktion eines Magischen Quadra tes nicht brauchbar. 387 Siehe Stifel A, S. 24 ff. und Adam Ries, Rechenbüchlin 1578 (1518), S. 71. Anzahl der Teilwerke Taktanzahl Canon triplex 1 3 Musicalisches Opfer 16 981 5 166 Sechs Chorale 6 317 Die Kunst der Fuge 21 Canonische Veraenderungen über Vom Himmel hoch 1 = 2313 2 = 2510 = 49 tot1 = 3780 tot2 = 3977 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 239 Ungerade Termen sollten in den betreffenden Zeilen, Spalten und Diagonalen, und damit gesamthaft, entweder gar nicht oder in einer geraden Anzahl vorkommen. Dies bedeutet, dass in einem Quadrat 7. Ordnung die Anzahl der geraden Termen im Minimum 7 betragen muss (diese Bedingung ist bei einer Diagonalen aus geraden Zahlen erfüllt) und diejenige der ungeraden Zahlen 0 oder im Minimum 4. Diese Bedingungen erschweren die Konstruktion eines Magischen Quadrates erheblich und müssen bei der Planung genau beachtet werden. Auch sie sind letzlich relevant bei der Frage nach der Zufälligkeit der Entstehung des Grundlagenmaterials für ein Magisches Quadrat. Mit der Erfüllung dieser Bedingungen ist jedoch noch keine Gewähr gegeben, dass sich tatsächlich ein Magisches Quadrat konstruieren lässt. Ist z. B. eine der Termen größer als die Konstante, ist eine Konstruktion nicht möglich. Im vorliegenden Fall liegen insgesamt 29 gerade und 20 ungerade Zahlen (Termen) vor. Die größte Terme zählt 249 und die kleinste 3. Wenn sich mit Zahlenmaterial ein Magisches Quadrat konstruieren lässt, gibt es meist mehrere Lösungen. Im vorliegenden Fall sind es mindestens zwei Varianten. Die dargestellten Quadrate sind im strengen Sinne nur halbmagisch , da sie Dupla aufweisen. Folgende Zahlen kommen zwei- oder dreimal vor: 18 = 2-mal 56 = 2-mal 71 = 2-mal 78 = 2-mal 8 = 3-mal Addiert man je eine Zahl der vier Dupla und zwei Zahlen des einen Triplum , ergibt dies die Primzahl 239, was der Taktsumme der autographen Fassung der unvollendeten Tripelfuge aus KF entspricht: Ob die Koinzidenz dieser Zahl 239 mit der Taktzahl der unvollendeten Tripelfuge von KF etwas bedeutet, ist noch ungeklärt; sie könnte auch Zufall sein. 18+56+71+78+(2·8) = 239 240 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS IV.1.7. Das Magische Quadrat der letzten fünf gedruckten Werke Das Magische Quadrat wird gebildet aus den Taktzahlen der ingesamt 49 Teilwerke von: Canon triplex, Musicalisches Opfer, Canonische Verænderungen über Canon triplex: 1 Teilwerk Musicalisches Opfer: 16 Teilwerke Sechs Chorale: 6 Teilwerke Kunst der Fuge: 21 Teilwerke Canon triplex W.n.d.l.G.l.w. 50 : Canon 3 M.S.e.d.H. 35 Termen: 49 A.b.b.u.H.J.C. 59 Zeilen, Spalten: 7 Ricercar (a 3) 185 K.d.n.J.v.H.h. 66 Konstante: 540 Can. perp. 5 Kunst der Fuge Son. Largo 96 Cp. 1 78 Son. Allegro 249 Cp. 2 84 Son. Andante 30 Cp. 3 72 Son. Allegro 113 Cp. 4 138 Son. Can. perp. 32 Cp. 5 90 Canon 1 18 Cp. 6 79 Canon 2 8 Cp. 7 61 Canon 3 4 Cp. 8 188 Canon 4 8 Cp. 9 130 Canon 5 8 Cp. 10 120 Fuga canonica 78 Cp. 11 184 103 Cp. 12 56 Canon à 2 16 Cp. 13 71 28 Cp. (14) 98 Can. Veraenderungen Canon p. A. 109 Var. 1 18 Canon a. O. 179 Var. 2 23 Canon a. Dec. 540 Var. 3 27 Canon a. Duod. 145 Var. 4 42 Fuga a 2 Cl. 71 Var. 5 56 Fuga a 3 Sog. 232 Sechs Chorale W.w.i.h.N. 45 W.a.r.u.d.St. 74 W.s.i.f.h./A.m.l.G. 33 Gesamtsumme Vom Himmel hoch, da komm ich her, Sechs Chorale, Die Kunst der Fuge. Canonische Verænderungen über Vom Himmel hoch, da komm ich her: 5 Teilwerke 3780 Musicalisches Opfer Ricercar á 6 Canon á 4 83 (82+1) =3780 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 241 Angesichts der Tatsache, dass das Zahlenmaterial für die Bildung dieser Magischen Quadrate die Anzahl der Takte der einzelnen Teilwerke keine arithmetische Reihe bildet und aus praktischen Gründen auch keine solche bilden kann, wie dies üblicherweise bei Magischen Quadraten der Fall ist, müssen Dupla in beschränktem Rahmen akzeptiert werden. Es darf dabei nicht vergessen werden, dass dieselben Zahlen auch noch in die Konstruktion der Goldenen Schnitte und der Widmungen eingebunden sind und außerdem die oben gezeigten Bedingungen erfüllen müssen. Deshalb sind die Quadrate trotz der Dupla als wertvoll zu bezeichnen. Die Bereitstellung des dazu notwendigen Zahlenmaterials war wegen der erwähnten Abhängigkeit von zahlreichen Parametern äußerst anspruchsvoll. Aus diesem Grund ist die Zufälligkeit der gefundenen Konstruktion höchst unwahrscheinlich. Auf Grund des vorhandenen Zahlenmaterials mit den verschiedenen Zählgrundlagen stellt sich die Frage, ob es noch weitere Möglichkeiten zur Bildung von Magischen Quadraten gibt. Denkbar wäre z. B., dass sich auch aus der Anzahl der Schläge des ganzen Korpus ein Quadrat konstruieren ließe. Die Zahlen sind folgende:388 Gesamtschlagzahl mit den Spiegelfugen einmal gezählt: 10808 Gesamtschlagzahl mit den Spiegelfugen doppelt gezählt:389 11398 Von diesen beiden Zahlen ist nur die kleinere Zahl 10808 durch 7 teilbar. Es ergibt sich die Konstante: 10808 : 7 = 1544 Da jedoch unter den 49 Termen insgesamt nur zwei Termen ungerade sind der erste der Sechs Chorale mit 297 und der Canon alla Ottava in KF mit 537 Schlägen gibt es im Minimum entweder zwei ungerade Spalten oder zwei ungerade Zeilen. Somit ist kein Quadrat konstruierbar. 388 Alle für die Konstruktion der Magischen Quadrate und Goldenen Schnitte notwendigen Zahlen sind in der Strukturübersicht unter Kapitel VIII.1 aufgelistet. 389 In der Zahl 10808 sind zusätzlich 4 Schläge für eine Kadenz im Canon alla Decima eingerechnet, in der Zahl 11398 nicht. 242 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS Dasselbe gilt für die Anzahl der Achtel. Zählt man die eine überzählige Sechzehntelnote im Canon alla Ottava von KF nicht, ergibt sich nur in der kleineren Summe (Spiegelfugen einfach gezählt) eine Zahl, die durch 7 teilbar ist: 29344 : 7 = 4192 Da eine der Termen ungerade ist (Can.a.D.=805), gibt es je eine ungerade Spalte und Zeile. Somit ist ebenfalls kein Quadrat konstruierbar. IV.2. Der Goldene Schnitt IV.2.1. Die Goldenen Schnitte in den Einzelwerken IV.2.1.1. Die Voraussetzungen für die Goldenen Schnitte Um einen Gesamtüberblick über die in Kapitel III besprochenen Goldenen Schnitte der einzelnen Werke zu haben, werden sie hier nochmals zusammengefasst dargestellt. Der Goldene Schnitt als außergewöhnliche Teilung einer Strecke wurde erstmals von Euclid mathematisch dargestellt. Die Bezeichnungen sectio aurea und proportio divina konnten bisher allerdings in der Antike nicht nachgewiesen werden.390 Dass die Teilung irrational ist und außerhalb der pythagoreischen Teilungsverhältnisse 3:5:8 liegt, wurde schon früh erkannt. Dies bedeutet, dass der Goldene Schnitt primär nichts mit der Fibonacci-Folge zu tun hat, auch wenn die Verhältnisse von deren Nachbarzahlen aufsteigend dem Golde nen Schnitt immer näher kommen.391 390 Sie sind jedoch spätestens bei Luca Pacioli (Divina proportione, illustriert von Leonardo da Vinci) nachweisbar. Siehe Pacioli. 391 Erstmals erwähnt als besondere Form der sectio aurea bei Jacob 1594. Siehe Jacob, Blatt 48. Jacob starb bereits 1564. Die Auflage von 1594, in der die Fibonacci-Folge erstmals vorkommt, wurde von Wolff Dieterich Caesar betreut. Auch Kepler hat dieses spezielle mathematische Problem erkannt (Siehe Brief an Mi chael Mästlin, in: Briefe 1590-1599. Ed. M. Caspar 1945). IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 243 Abbildung IV.9. Darstellung des Goldenen Schnittes. In: Euclidis opera, Liber sextus, Erhard Ratdolt Venedig 1482, S. 89, und in: Die sechs ersten Bücher Euclidis, deutsch von Sebastianus Curtius Amsterdam 1618, S. 145.392 Bach hat diese Tatsache bei der Berechnung seiner Goldenen Schnitte überwiegend eingehalten, d.h., sie sind in den meisten Fällen äußerst genau. In vielen Fällen, bei den letzten fünf Drucken ausnahmslos, sind die Goldenen Schnitte außerdem gematrisch oder optisch signiert. Dies ist wichtig, weil grundsätzlich jede Strecke im Goldenen Schnitt teilbar ist und deshalb die Absicht des Autors für eine solche Teilung an der jeweiligen Stelle durch eine be sondere Markierung ersichtlich sein muss. Besonders deutlich wird diese Absicht, wenn die Teilung mit einem formalen Einschnitt oder einer weiteren arithmetischen Teilung zusammenfällt.393 Irritieren mag, dass in den oben dargestellten Berechnungen der Goldenen Schnitte zwei verschiedene Zählgrundlagen verwendet werden. In den Sechs Choralen und in der Kunst der Fuge wird als Grundmaß die Zählung der Schläge verwendet, in den Canonischen Verænderungen mit dazugehörigem Canon triplex und dem Musicalischen Opfer das genauere Grundmaß mit Zählung der Achtel. Erklärungen für diesen Unterschied sind durchaus noch als Versuche zu werten.394 Aus bisheriger Sicht hat Bach zeitlebens als Zähleinheit über wiegend die Zählung der Takte und, für genauere Berechnungen der Längen- 392 Bereits dargestellt in Pachlatko, S. 87. 393 Wie z. B. 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4 etc. eines Stücks. 394 Trotz aller bisheriger Untersuchungen von Dieben/Bronkhorst, Kramer, Clement und meiner entsprechenden Studie zum Orgel=Büchlein sind mit Blick auf das immense, diesbezüglich noch nicht ausreichend untersuchte Werk von Bach noch keine zuverlässigen Aussagen zur Gültigkeit einer oder mehrer Zählweisen möglich. 244 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS verhältnisse, diejenige der Taktschläge verwendet. Die noch genauere Zählung in Achteln scheint erst ganz am Ende von Bachs Leben relevant geworden zu sein. Sie ist nur in den letzten beiden neu komponierten Werken, dem MO und den CV, und bezüglich des ganzen Korpus der letzten fünf gedruckten Werke nachweisbar. Damit ist eine noch präzisere Berechnung des Goldenen Schnittes möglich.395 Zusammenfassend wird nachfolgend nochmals ein Überblick aller dargestellten Goldenen Schnitte gegeben. IV.2.1.2. Canon triplex Bei einem Canon perpetuus kann definitionsbedingt kein Goldener Schnitt angelegt werden. IV.2.1.3. Musicalisches Opfer396 Goldener Schnitt zwischen den Faszikeln 1b/3b und dem Faszikel 2b: Die beiden Faszikel 1b und 3b für Cembalo solo mit Ricercar (a 3), Canon perpetuus (1), Ricercar á 6, Canon à 2 und Canon á 4397 stehen zum Faszikel 2b für Melodieinstrumente und Cembalo (als Continuo) mit der Triosonate und dem Canon perpetuus (2) in einem äußerst genauen Verhältnis des Goldenen Schnittes. Zähleinheit ist hier der Schlag:398 395 In KF steht der Canon alla Ottava im 9/16 -Takt. Da er eine ungerade Zahl von Sechzehnteln aufweist, ist eine Zählung in Achteln nur mit Auf- oder Abrundung möglich. 396 Siehe Kapitel III.2.1, S. 95 f. und S. 99-105. 397 A due, tre e quattro mani. 398 Im Gegensatz zur Achtel-Zählweise für die Berechnung des Goldenen Schnittes über dem ganzen MO. Faszikel 1b+3b = 740 Faszikel 2b = 1196 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 245 740:1196 = 0.618729097 (Abweichung von 0.618033989 = 0.000695108 oder 0.8 Schlägen) Goldener Schnitt über das ganze MO mit der Zähleinheit der Achtel: Gesamtsumme des MO in Achteln: 7258 7258 Achtel · 0.381966399= 2772.3092 Achtel Der Goldene Schnitt befindet sich im Takt 168.8773 des 2. Satzes der Triosonate, nachdem die Flöte im Anschluss an den einen Adagiotakt (= Takt 158!)400 das Thema Regium unmittelbar vor dem da capo gespielt hat. Dieser letzte Viertelschlag des Taktes 169 umfasst die Töne: Flöte Pause Violine c-d-es-c 3+4+23+3 = 33 Bass a-g 1+7 = 8 = 41 Der gesamte Takt 169 hat folgende Töne: Flöte c 3 = 3 Violine es-f-g-es-c-d-es-c 23+6+7+23+3+4+23+3 = 92 Bass c-b-a-g 3+2+1+7 = 13 = 108 41 = Valor von J.S. Bach und 108 = Valor von Joh. Sebast. Bach401 399 Es ist nur die Teilung mit der kürzeren Strecke im vorderen Teil signifikant. 400 Genauere Angaben zu diesem Takt siehe auch Fn. 160. 401 Gemäß c.s. 108 ist auch Valor von Redemptor und Fridericus. Ersteres dürfte hier weniger von Belang sein, Letzteres könnte aber durchaus. 246 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS IV.2.1.4. Einige canonische Verænderungen über das Weynacht-Lied: Vom Himmel hoch da komm ich her und Canon triplex402 Die CV haben in Einheit mit dem Canon triplex 2 Goldene Schnitte, je einen mit der kürzeren Strecke zu Beginn und am Ende. Zähleinheit sind die Achtel . Goldener Schnitt mit dem kürzeren Teil zu Beginn der Strecke: 1424 Achtel · 0.381966 = 543.919584 Achtel (aufgerundet 544 Achtel) Der 544ste Achtel ist der 120ste Achtel in der 3. Variation, dem Canone alla Settima, und bildet das Ende von Takt 15. Der Goldene Schnitt befindet sich also genau zwischen den Takten 15 und 16. Betrachtet man die Zahlenwerte der Töne innerhalb der Viertelschläge links (= Takt 15) und rechts (= Takt 16) des Goldenen Schnittes, ergeben sich folgende Werte: links : d-g-fis-e (Takt 15) 4+7+33+5 = 49 g-a 7+1 = 8 h-c 8+3 = 11 rechts : (e)-d-e-d-c-d-g (Takt 16) 4+5+4+3+4+7 = 27403 h-c-h 8+3+8 = 19 d-e 4+5 = 9 tot = 123 = 3·41 41 = Valor von J.S. Bach (c.s.) 402 Siehe Kapitel III.3.2, S. 168-176. 403 Der Trillo im Sopran zu Beginn des Taktes 16 ist als angebunden gerechnet. IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 247 Goldener Schnitt mit dem längeren Teil zu Beginn der Strecke: Der 880ste Achtel ist der 240ste Achtel in der 4. Variation, dem Canon per augmentationem, und liegt genau zwischen den Takten 30 und 31. An der Stelle des Goldenen Schnittes ergeben sich unmittelbar links und rechts der Teilung folgende Werte: links: a-d-f (Takt 30) 1+4+6 = 11 rechts: h-g-e (Takt 31) 8+7+5 = 20 tot = 31404 Zählt man die Werte der ganzen Takte links (=Takt 30) und rechts (=Takt 31) der Teilung, ergeben sich folgende Zahlen: links: e-c-h-a-g-f-e-d-c-c-h-a (Takt 30) 5+3+8+1+7+6+5+4+3+3+8+1 = 54 h-c-d-e-a-g-f-g-d 8+3+4+5+1+7+6+7+4 = 45 c-g-a-h-c-d-e-f 3+7+1+8+3+4+5+6 = 37 rechts: h-g-a-h-c-f-g-a-g-b-a-g-a-d-c-h-c-h-a-g-fis-a-h-c (Takt 31) 8+7+1+8+3+6+7+1+7+2+1+7+1+4+3+8+3+8+1+7+33+1+8+3 = 138 g-f-e-e-d-c 7+6+5+5+4+3 = 30 e-d-c-d-e-f-g-a 5+4+3+4+5+6+7+1 = 35 tot = 339 339 = 3·113 113 = Valor von J.S. Bach (c.ch.) Am Ende von Takt 31 wird folgendes Zahlenbild sichtbar: Takt 31 3 ·113 404 Bezüglich Deutung der Zahl 31 an dieser Stelle siehe S. 174. 1424 Achtel · 0.618034 = 880.080 Achtel (abgerundet 880 Achtel) 248 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS Bach signiert in beiden Goldenen Schnitten mit seinem Namen J.S. Bach, wobei er im ersten G.S. als Zahlenalphabet die cabbala simplicissima verwendet (J.S.Bach=41) und im zweiten G.S. die cabbala chronologica (J.S.Bach=113). IV.2.1.5. Sechs Chorale (Schübler-Choräle)405 Die Sechs Chorale weisen nur einen Goldenen Schnitt auf, nämlich die Variante mit der längeren Strecke zu Beginn. Zähleinheit ist der Schlag. Goldener Schnitt: 1132.5 Schläge · 0.618034 = 699.923505 Schläge Der Goldene Schnitt liegt innerhalb des zweiten Schlages von BWV 649. Dort ergibt der Basston B zusammen mit dem Titelwort Ach den Namen: B ACH. IV.2.1.6. Die Kunst der Fuge406 Bisher konnte nur ein Goldener Schnitt ermittelt werden. Er hat die längere Strecke zu Beginn. Zähleinheit ist der Schlag. Goldener Schnitt: 6739 Schläge · 0.618034 = 4164.93 Schläge, aufgerundet: 4165 Schläge Der Schlag 4165 befindet sich am Ende von Schlag 55 (Takt 27.5) im Canon per Augmentationem in Contrario Motu, d.h. in Takt 28 vor Schlag 2. Die beiden Achtel links und rechts des Goldenen Schnittes bestehen aus folgenden Tönen: 405 Siehe Kapitel III.4.1, S. 184-186. 406 Siehe Kapitel III.5.1, S. 206-212. IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 249 links: e-b 5+2 = 7 rechts: f-a (das übergebundene b kann nur einmal gezählt werden) 6+1 = 7 = 14 14 = Valor von BACH Außerdem ergibt sich an der Schnittstelle sowohl im Druck als auch im Autograph ein auffallendes Zusammentreffen der Töne b und a dieses Taktes mit den Tönen c und h im darüber liegenden Takt. So wird zusätzlich auf optischer Ebene eine Signierung sichtbar. Der Goldene Schnitt liegt auch innerhalb des Kanons an einer keineswegs belanglosen Stelle. Mit Takt 27¼ ist hier genau ein Viertel des Kanons erreicht. Hier endet die Vorlage für den Kanon in der Vergrößerung der Unterstimme.407 IV.2.2. Der Goldene Schnitt innerhalb der letzten fünf Drucke Von besonderem Interesse ist nun die Frage, ob auch in der Einheit der letzten fünf Drucke ein Goldener Schnitt nachgewiesen werden kann. Dies ist der Fall. Auch hier stellt sich die Frage der Zählgrundlage. Nachdem sich gezeigt hat, dass Bach für die beiden letzten neu komponierten Werke, das MO und die CV, die Achtelzählung verwendete, drängt sich diese Zählung auch für die Konstruktion seines letzten Goldenen Schnittes auf. Zwar ergibt sich durch die Verwendung eines 9/16-Taktes und einer ungeraden Taktzahl im Canon alla Ottava der KF für die Zählung in Achteln keine ganze Zahl (9/16 sind 4.5 Achtel).408 Doch da die Teilung des Goldenen Schnittes in jedem Fall eine 407 Mit Takt 53 beginnt die Unterstimme als Vorlage für den Kanon in der Vergrö- ßerung der Oberstimme. 408 Als Maßeinheit für die Erfassung einer musikalischen Struktur ist die Achtel zählung in einem 9/16-Takt zweifellos wenig geeignet. Da es hier aber um eine vordefinierte Größe unterhalb der Schlageinheit geht, ist das Rechnen mit dem Achtel als der kleinsten gemeinsamen Einheit in der Gesamtheit der letzten fünf Dru cke dennoch genauer als die Zählung mit Schlageinheiten. 250 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS irrationale Zahl ergibt, spielt dies keine Rolle. Ausgangspunkt der Rechnung ist dieselbe Zählung, wie sie Bach für die Ermittlung des Goldenen Schnittes innerhalb der KF und zur Konstruktion des Magischen Quadrates verwendete, nämlich mit einmal gezählten Spiegelfugen in KF und einem eingerechneten Takt für die Kadenz im Canon alla Decima in KF. Zu diesem Kanon ist noch eine Erläuterung notwendig: Der Canone alla Decima hat als Taktvorzeichnung 12/8. Dies ist die bei Bach übliche Vorzeichnung für einen Vierertakt mit ungeradem Metrum.409 Zu beachten ist hier nun aber, dass die ersten drei und die letzten vier Takte ein gerades, die übrigen Takte jedoch ein ungerades Metrum aufweisen.410 Somit sind in den Takten mit geradem Metrum je acht Achtel und in den Takten mit ungeradem Metrum je zwölf Achtel zu zählen. Beim zweitletzten Takt steht das Wort Cadenza. Weil auch für diesen zusätzlichen Kadenztakt ein gerades Metrum vorgegeben ist, sind acht weitere Achtel hinzuzuzählen. Auch hier entsteht, wie bei den CV, durch den unterschiedlichen Zählwert der Achtel in geradem und ungeradem Metrum eine Asymmetrie, die musikalisch zwar von Belang ist, nicht aber für die Summierung mittels vordefinier ter Zähleinheit der Achtel. (Siehe auch Fn. 408) Abbildung IV.10. J.S. Bach, Die Kunst der Fuge, Canon alla Decima, Takte 1-4 und 79-82. 409 In der 1. Variation der CV fehlt die Vorzeichnung unüblicherweise. Siehe Pachlatko, S. 288 ff. 410 In Takt 4 beginnt die Punktierung der Notenwerte, die in jedem Fall triolisch zu spielen sind. Deshalb werden von diesem Takt an triolische Achtel gezählt. ~ ~ Takte 1-4 Takte 79-82 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 251 Die fünf Drucke haben folgende Anzahl Achtel:411 Abbildung (Tabelle) IV.11. Die Anzahl der Teilwerke und Achtel in der Gesamtheit der letzten fünf Drucke. Alle fünf Drucke zusammen zählen 29344.5 Achtel. Von den beiden möglichen Teilungen erweist sich nur diejenige mit der kürzeren Strecke zu Beginn als signifikant. Demnach ergibt sich folgende Rechnung: 29344.5 Achtel · 0.381966 = 11208.601287 Achtel Der Schnitt befindet sich im Achtel 11208.601287. Dieser liegt im 2.6ten Achtel von Takt 66 des letzten Chorals der Sechs Chorale, Kommst du nun Jesu vom Himmel herunter. Takt 66 ist der Schlusstakt und auf seinem ersten Schlag befindet sich der Schlussakkord. Der Schlussakkord hat die Länge von 3 Achteln. Somit liegt der Goldene Schnitt auf dem letzten klingenden Achtel dieses Vorspiels und damit der Sechs Chorale. Der Schlussakkord besteht aus den beiden Tönen G und g', die den Zahlenwert 7+7=14 haben. Auch hier kann die Zahl 14 als Signierung gedeutet werden. 411 Detaillierte Übersicht in Kapitel VIII.1, Strukturübersicht der letzten fünf Drucke. Anzahl der Teilwerke Achtelanzahl Canon triplex 1 24 Musicalisches Opfer 16 7258 Vom Himmel hoch da komm ich her 5 1400 Sechs Chorale 6 2533 Die Kunst der Fuge 21 18129.5 = 49 = 29344.5 Canonische Veraenderungen über 252 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS Abbildung IV.12. J.S. Bach, Sechs Chorale, Kommst du nun, Jesu, vom Himmel herunter BWV 650, Schlusstakt. Dass Bach den Goldenen Schnitt auf das Ende dieses endzeitlichen Chorals legte, ist nicht ohne tieferen Sinn. Wie Albert Clement plausibel aufzeigte, 412 dachte Bach bei der Titeländerung der Orgelfassung gegenüber der Kantatenvorlage wohl an die letzte der fünf Strophen dieses Liedes von Nachtenhöfer. Die musikalische Vorlage für die Orgelfassung ist die Alt-Arie der Choral- Kantate BWV 137 Lobe den Herren, den mächtigen König auf den Text der zweiten Strophe: 2. Lobe den HErren, der alles so herrlich regieret, der dich auf adelers fittigen sicher geführet, der dich erhält, wie es dir selber gefällt; hast du nicht dieses verspüret?413 5. Führe mich endlich, o JEsu, ins ewige leben, welches du allen, die gläuben, versprochen zu geben, da ich bey GOtt ohne noth, jammer und tod, ewig in freuden kann schweben. 412 Clement B, S. 293. 413 Choraltexte nach dem Freylinghausschen Gesangbuch 1741, Hrsg. G.A. Francke. g' G s.a. Takt 65 Takt 66 Der Text der fünften Strophe von Kommst du nun, Jesu, ... lautet: IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 253 Während der Text der zweiten Strophe von Lobe den Herren ... von der Fürsorge Gottes , der providentia Dei, im irdischen Leben spricht, spricht der Text von Nachtenhöfers fünfter Strophe vom Führen Gottes ins ewige Leben. Mit der Neuzuweisung des Vorspiels zu diesem Text ist ein inhaltlicher Per spektivwechsel verbunden, der wohl mit Bachs unmittelbarer Lebenssituation erklärbar ist. Verbindendes Element der beiden Strophen ist die Thematisie rung des Vertrauens auf Gottes schützende Führung. Beide Strophen verwenden als Bild dafür das Fliegen bzw. Schweben. Auch wenn in Nachtenhö fers Lied der Adler nicht erwähnt wird, dürfte er für Bach als Symbol für die zum Himmel steigende Seele präsent gewesen sein. So nimmt Bach z. B. in der zweiten Arie der Kreuzstab-Kantate das Bild von der Seele auf, die das Joch des Irdischen abgestreift und des Adlers Eigenschaft angenommen hat.414 Von Gott getragen sein, ist befreiend. Während man diese Befreiung im irdischen Leben nur spüren kann, wird das Schweben in Freuden nach dem Tod Wirklichkeit. Musikalisch wird die Darstellung dieser endgültigen Schwerelosigkeit, das Finden der ewigen Ruhe auch und gerade darin deutlich, dass die beteiligten Stimmen am Schluss eins werden, also im Unisono sich verei nen.415 Einen solchen Unisono-Schluss weisen auch die übrigen der Sechs Chorale auf. Dies kann als musikalische Andeutung ihrer eschatologischen Ausrichtung gewertet werden. Das Schweben und auf Adelers Fittichen geführet Sein wird musikalischbildlich wunderbar von der Sopranstimme dargestellt, die in der Kantate der Violine zugewiesen ist. Die dort verlangte, nur mit Springbogen ausführbare Artikulation kann als weiteres Bild für die Schwerelosigkeit gedeutet werden. Der Goldene Schnitt, von Luca Pacioli proportio divina genannt, innerhalb der gesamten letzten fünf Drucke weist somit augen- und ohrenfällig auf das Ziel des menschlichen Lebens hin. Auch Bach glaubt, dass ihm dieses Ziel versprochen ist. 414 Der Text dieser Arie in der Kreuzstab-Kantate , BWV 56, lautet: Endlich, endlich wird mein Joch / Wieder von mir weichen müssen. / Da krieg' ich in dem Herren Kraft, / Da hab' ich Adlers Eigenschaft, / Da fahr' ich auf von dieser Erden / Und laufe sonder matt zu werden. / O gescheh es heute noch! 415 Konrad Klek wies mich darauf hin, dass diese Stelle als musikalisches Bild im Sinne der unio mystica gesehen werden kann. 254 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS IV.3. Gematrische Besonderheiten in der Gesamtstruktur In der Besprechung der einzelnen Werke ist deutlich geworden, dass arithmeti sche Strukturen und gematrische Anspielungen oft Hand in Hand gehen. Während arithmetische Strukturen in der Beurteilung, ob sie richtig oder falsch sind, den Gesetzen der Mathematik unterstehen, sind gematrisch gewonnene Zahlen bezüglich ihres Wertes zwar auch diesen Gesetzen unterworfen, gewinnen aber einen Sinn erst durch ihre Deutung. Da der Deuter stets Teil der Deutung ist, bleiben die gewonnenen Ergebnisse entsprechend anfechtbar. Dennoch kann, worauf zuvor hingewiesen wurde, bei stets gleichem Auftreten solcher Anspielungen mit steigender Wahrscheinlichkeit Zufälligkeit ausgeschlossen werden. Zum Kontext dieser Untersuchung gehören, wie gerade im vorangehenden Kapitel deutlich wurde, die Namenszahlen Bachs. Diese Zahlen werden von den Buchstabensummen von Bach, J.S.B., J.S. Bach, Joh. Seb. Bach, Joh. Sebast. Bach, Jean Sébastien Bach, Johann Sebastian Bach und Iohannes Sebastianus Bachius (Isenacensis)416 und den Produkten B·A·C·H, J·S·B und J·S·B·A·C·H gebildet.417 Aber auch die Valores anderer Namen, die für Bach offensichtlich bedeutsam waren, wurden schon gefunden. Alle diese Zahlen sind zwangsläufig mehrdeutig. Weil sie aber in Bachs Werken immer wieder in markanten Zusammenhängen gefunden werden, ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass sie von Bach beabsichtigte Hinweise sind. Auf solche zahlenallegorischen Anspielungen oder Signierungen in den Zahlen der für die Berechnungen der Goldenen Schnitte, des Magischen Quadrates und auch der Kreis- und Kugelberechnungen innerhalb der fünf Teilwerke ermittelten Teil- und Gesamtsummen aller Takte, Schläge und Achtel wurde bereits hingewiesen. Nun sollen noch die hinsichtlich solcher Anspielungen erst teilweise betrachteten Summen der Takte, Schläge und Achtel der Gesamtheit der letzten 416 Gezählt mittels der drei Zahlenalphabete cabbala simplicissima, trigonalis und chronologica. 417 Ausführlich aufgeführt und nachgewiesen bei Kramer, S. 54 ff. Listen von Bachs Nominavalores und der Zahlbedeutungen siehe Kapitel I.5.1 und Kapitel VIII.2. IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 255 fünf Drucke untersucht werden. Auch auf vermutete Anspielungen in den Teilwerken bezüglich Bachs Zugehörigkeit zur Mizlerschen Sozietät und allenfalls freimaurerischen Vereinigungen soll ein kurzer Blick geworfen werden. IV.3.1. Anspielungen im Gesamtkorpus Abbildung (Tabelle) IV.13. Gesamtsummen des ganzen Korpus der letzten fünf Drucke. Zur Gesamtsumme 1 der Takte und Schläge: Bemerkenswert ist weil mathematisch nicht zwingend gegeben dass die Takt- und Schlagsummen eine Namenszahl Bachs als gleichen Teiler haben: 3780 ist 270·14 und 10808 ist 772·14 Neben der Zahl 14 (BACH) als gemeinsamem Teiler zeigen diese Summen aber noch weitere Auffälligkeiten: Die Zahl 378 ist Valor von Iohannes Sebastianus Bachius Isenacensis418 und entspricht ebenfalls der Schlagzahl der Tripelfuge in Es-Dur in Clavierübung III (Fuge 1=36 Takte / 144 Schläge, Fuge 2=45 Takte / 90 Schläge), Fuge 3=36 Takte / 144 Schläge =378). Der Teiler 27 (=33) dürfte auch hier dieselbe Bedeutung haben wie in Clavierübung III. Eine ausführliche Darlegung ist in Albert Clements Arbeit über diesen Zyklus zu finden.419 Der Teiler 772 hält eine Überraschung bereit: 418 Siehe S. 65/Fn. 97, und S. 110. 419 Siehe Clement D, S.10 ff., und Kramer, S. 59. Taktanzahl Schlaganzahl Achtelanzahl Gesamtsumme 1 3780 10808 29344 (.5) Gesamtsumme 2 3977 11398 30860 (.5) 256 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS Er ist 2·386. 386 ist seinerseits die Summe von 211 und 175, den Namenssummen von Georg Philipp Telemann und Georg Friedrich Händel. Die Zahl 10808 ist als Produkt von 772·14 zweifellos eine Anspielung auf BACH. Sie ist als Produkt von 28·386 aber auch eine Anspielung auf die beiden mit Bach in der Mizlerschen Sozietät und auch sonst freundschaftlich verbun denen Musiker Telemann und Händel. Bach dürfte sie neben sich als bedeutendste deutsche Musiker ihrer Zeit betrachtet haben. Nachdem Telemann und Händel schon im Canon triplex angedeutet sind,420 sind sie hier in der Großform nochmals gewürdigt. Dabei ist der Faktor 28 in seiner Eigenschaft als numerus perfectus vielleicht eine Hommage Bachs an seine Freunde. Zur Gesamtsumme 2 der Takte und Schläge : Auch diese beiden Gesamtsummen haben eine Namenszahl von Bach als Teiler, nämlich J.S. Bach = 41: 3977 ist 97·41 und 11398 ist 278·41 Nach dem bereits Gezeigten verwundert nicht, dass auch diese Zahlen weitere Bezüge aufweisen: In seiner Arbeit über Bachs KF und den Kommentaren in seiner Sammlung von Briefen Mizlers und Zeitgenossen an Meinrad Spieß äußert H. -E. Dentler die Vermutung, Bachs Sozietätsname in der Mizlerschen Sozietät könnte Orpheus gewesen sein.421 Die Übereinstimmung des Faktors 97 mit dem Valor von Orpheus ist vielleicht ein weiterer Hinweis auf Bachs eventuellen Sozie tätsnamen .422 Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Gesamtsummen der Takt- und Schlagzahlen mit einfacher Zählung der Spiegelfugen und dem Einfügen einer eintaktigen Kadenz im Canon alla Decima in KF den übereinstimmenden 420 Siehe S. 84 ff. 421 Siehe H.R. Jung/H.-E. Dentler, S. 116. 422 97 ist auch gleich 41+4 ·14 (Schriftbild 4|1|4|1|4) und Valor von Anna Magdalena Bach. Siehe S. 178 f. IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS 257 Faktor 14 haben und die Gesamtsummen der Takt- und Schlagzahlen mit doppelter Zählung der Spiegelfugen und ohne Kadenz im Canon alla Decima den ebenfalls übereinstimmenden Faktor 41. Somit sind beide Zählformen auf ihre je eigene Weise mit einer Signierung Bachs versehen. Aber auch die Gesamtsummen der Achtel zeigen solche Signierungen: Die Gesamtsumme 1 der Achtel (mit einfacher Zählung der Spiegelfugen und Einfügen einer eintaktigen Kadenz im Canon alla Decima in KF) setzt sich folgendermaßen zusammen: 29344 = 24 ·14·131 Die Zahl 14 spricht für sich, während die Zahl 131 mehrere Deutungen haben kann, die jedoch alle unmittelbar mit Christus zu tun haben. Die 13 ist eine Christus-Zahl, ihre Umkehrung 31 ist Valor von pro nobis crucifixus. 131 ist Valor des Vokativ Jesu Christe, aber auch ein Zusammenzug und Palindrom von 13~31.423 Die Gesamtsumme 2 zeigt folgende Zahlenstruktur: 30860 = 22·5·1543 Hier lassen sich keine Namenvalores finden. Die große Primzahl 1543 ist jedoch Jahreszahl eines welthistorischen Ereignisses. Im Jahre 1543 erschien das Werk De revolutionibus orbium c lestium von Nicolaus Copernicus, das eine revolutionäre Veränderung der Weltsicht bewirkte und als Wendepunkt zwischen Mittelalter und Neuzeit gilt. Zu Beginn des 17. Jhdts. vertiefte und festigte Johannes Kepler mit seinen Berechnungen der Planetenumlaufbahnen die astronomischen Kenntnisse immens. Die neuen Kenntnisse und die daraus abgeleitete neue Sicht auf den Kosmos verbreitete sich unter den Mathematikern schnell, während sie v. a. in Theologenkreisen bei beiden Konfessionen zunächst mehrheitlich auf Ablehnung stieß. In die Lebenszeit Bachs fiel, zu - 423 Das Et resurrexit der h-Moll-Messe zählt 131 Takte. Siehe Konrad Klek: Das Projekt H-Moll-Messe . In: Bachs lateinische Kirchenmusik, Das Bach-Handbuch, Bd. 2. Laaber: Laaber 2007, S. 314 ff. 258 IV DIE LETZTEN FÜNF GEDRUCKTEN WERKE ALS KORPUS mindest auf evangelischer Seite, das Überhandnehmen einer allgemeinen Akzeptanz der an sich längst erwiesenen neuen Lehre. Dies förderte ein allge meines Interesse an der Astronomie als Wissenschaft. Es kann wohl kaum bezweifelt werden, dass Bach, wie in dieser Untersuchung plausibel zu machen versucht wurde, ein Mathematik-affiner Zeitgenosse war und von der Bedeutung der kopernikanischen Schrift wusste. Über seine diesbezüglich tiefer gehenden Interessen und Kenntnisse wissen wir allerdings noch zu wenig. Immerhin war auch er mit einem Kosmos beschäftigt und wusste um die Komplexität struktureller und kombinatorischer Problemstellungen.424 424 Auf Grund m. E. falsch verstandener Hinweise im Nekrolog wird vielfach die Meinung vertreten, Bach habe sich nicht für mathematische Aufgabenstellungen interessiert. Dieser Frage geht das Kapitel VII. nach.

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Zusammenfassung

Johann Sebastian Bach bereitete in seinen letzten drei Lebensjahren fünf Werke zum Druck vor: „Canon triplex“, „Musicalisches Opfer“, „Canonische Veränderungen über ‚Vom Himmel hoch, da komm ich her‘“, „Sechs Choräle“ und „Die Kunst der Fuge“ (posthum erschienen). Auf den ersten Blick gibt es wenig Veranlassung, eine nähere Verbindung dieser Werke miteinander zu vermuten. Sie wurden bei verschiedenen Stechern, Druckern und Verlegern hergestellt und publiziert. Dennoch bilden diese fünf Werke eine Einheit, wenn auch eine verborgene.

Felix Pachlatko gelingt in der vorliegenden Studie der Nachweis versteckter innerer und übergreifender arithmetischer Strukturen wie Magischer Quadrate, äußerst genauer Goldener Schnitte sowie Kreis- und Kugelberechnungen, die darauf schließen lassen, dass die Gestalt aller dieser Werke – dies gilt besonders auch für „Die Kunst der Fuge“ – Bachs letztem kompositorischen Willen entspricht.