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II. Ordnungsaspekte und Mathematik bei Bach in:

Felix Pachlatko

Das Orgelbüchlein von Johann Sebastian Bach, page 93 - 108

Strukturen und innere Ordnung

1. Edition 2017, ISBN print: 978-3-8288-3898-7, ISBN online: 978-3-8288-6701-7, https://doi.org/10.5771/9783828867017-93

Series: Wissenschaftliche Beiträge aus dem Tectum Verlag: Musikwissenschaft, vol. 9

Tectum, Baden-Baden
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ORDNUNGSASPEKTE UND MATHEMATIK BEI BACH II. Ordnungsaspekte und Mathematik bei Bach Zur Zeit von J.S. Bach war die Musik nur noch in Teilaspekten eine Disziplin der Mathematik im Sinne des seit der klassischen Antike bis ins Spätmittelalter gültigen Quadriviums. Sie wurde schon längere Zeit eher den Künsten zugerechnet.124 Die Probleme bezüglich Stimmungen der Musikinstrumente – und damit zusammenhängend der Grundlagen der Harmonielehre – blieben aber im Interessenbereich auch der Mathematiker. Als kombinatorische Kunst behielt die Musik jedoch bis heute eine stärkere Nähe zur Mathematik als die anderen Künste. Bachs Nähe zur Mathematik ist seit Mizler vielfach beschrieben worden.125 Von Bach selber haben wir jedoch keine expliziten Hinweise. Weder hat er sich dazu geäußert, noch kann man in seinem nichtmusikalischen Nachlass Anhaltspunkte dafür finden.126 Auch wissen wir nichts über den Grad seiner mathematischen Bildung, insbesondere ist nicht bekannt, ob sie das damals übliche gymnasiale Bildungsniveau überstieg.127 Die in dieser Arbeit aufgedeckten Strukturen sind ohnehin eher dem Gebiet der Kombinatorik zuzurechnen als der eigentlichen Mathematik, wobei zu Bachs Zeiten die Kombinatorik durchaus noch Teil der Mathematik war. Die Problemstellungen, die im Folgenden zur Darstellung kommen, sind deshalb im mathematischen Sinne zwar einfach, aber dennoch bisweilen recht knifflig. Forkel stützt seine Erwähnung von Bachs Affinität zur Mathematik auf Äußerungen der Bach-Söhne Wilhelm Friedemann und Carl Philipp Emanuel Bach.128 Ihre Gültigkeit ist allerdings kritisch zu hinterfragen. Sie können 124 In Frankreich wurde der Wechsel der Musik von den Wissenschaften zu den Künsten auf Grund der Schriften des Mathematikers A.T. Vandermonde (1735–1796) von 1778 und 1780 offiziell erst nach 1780 vollzogen. Siehe Folkerts, S. 12. 125 Siehe z. B. Mizler, Musikalische Bibliothek (1754), passim; Forkel, Vorrede S. 12–13, und Bindel, S. 131: Goethe hat einmal nach Anhörung Bachscher Fugen dieselben mit illuminierten mathematischen Aufgaben verglichen, deren Themata so einfach seien und doch so großartige poetische Resultate hervorbrächten. 126 Neben dem Hausmannschen Porträt und dem von Vater und Söhnen Krebs zu Bachs 50. Geburtstag geschenkten Pokal geben auch einige Marginalien von Bachs Calov-Bibel einen Hinweis auf seine Freude an den Zahlen. Vgl. Kramer S. 53. 127 Jedenfalls gibt es bisher keine Belege für eine mögliche Beschäftigung Bachs mit komplizierteren mathematischen Aufgaben. 128 Forkel, Vorrede S. 12–13. 93 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH jedenfalls kaum als Argumente zur Klärung dieser Frage dienen.129 Inwieweit Bach auch mathematische Konzepte in der Musik verwendet und realisiert hat, kann deshalb nur durch Analyse seines musikalischen Werkes selbst geklärt werden. Den folgenden Untersuchungen am O=B sollen hier exemplarische Beispiele vorausgehen, in denen verschiedene Aspekte von mathematischen Konzepten sichtbar sind. Da solche Beispiele unschwer zu finden sind, ist hier eine Beschränkung auf Orgelwerke möglich. Die nun folgenden Untersuchungen begnügen sich in der Analyse mit Teilaspekten der Mathematik. Leitkriterium der Abfolge ist eine Progression bezüglich der Komplexität. Folgende Aspekte werden untersucht: – Gliederung der Komposition in Einheiten, die sich in rationalen Zahlen darstellen lassen. Diese Gliederungen können hörbar sein. – Gliederung der Komposition in Einheiten, die sich in irrationalen Zahlen darstellen lassen. Auch diese Gliederungen können hörbar sein, setzen aber eine erhöhte Sensibilität für Proportionen voraus. – Darstellung von Zahlen mit besonderen mathematischen Eigenschaften, die nicht hörbar sind. – Darstellung von Symbolzahlen und Wortrechnungen, die nicht hörbar sind. Hier kommen auch Zahlenalphabete zur Anwendung.130 Rationale Zahlen Das Praeludium c-Moll, BWV 546, das hier als Beispiel angeführt wird, hat eine ganzzahlige Gliederung, die allerdings infolge von Überlagerung der Themenbereiche mit den Formbereichen zum Teil nicht leicht sichtbar wird. Die Entstehungszeit ist nicht gesichert und es ist kein Autograph überliefert. Es besteht eine offensichtliche Verwandtschaft zum Eingangschor von Kan- 129 Forkels Schrift strebt keine Objektivität an, sondern versucht, J.S. Bach dem Vergessen zu entreißen. Seine Verehrung des großen Künstlers Bach kommt leider nicht ohne Übertreibungen aus. 130 Es gibt zahlreiche Arbeiten zu Geschichte und Anwendung von Zahlenalphabeten, siehe dazu: Kramer und seine Beurteilung von Tatlow, Kramer, S. 31 ff. In der hier vorliegenden Arbeit kommen fast ausschließlich die cabbala simplicissima (= lateinisches Alphabet mit k und teilweise auch w) und das griechisch-milesische Zahlenalphabet und dessen hebräische Adaption vor. 94 ORDNUNGSASPEKTE UND MATHEMATIK BEI BACH tate 47 (17. Sonntag nach Trinitatis) Wer sich selbst erhöhet.131 Das Praeludium hat eine dreiteilige Form mit zwei Themenbereichen. Teil 1 ist identisch mit Teil 3.132 Im Teil 2 wird ein lineares Thema mit Triolenbegleitung imitatorisch durchgeführt, unterbrochen von Teilen aus dem Themenbereich 1. Insgesamt hat das Praeludium 144 Takte, die identischen Teile 1 und 3 haben je 24 Takte und der Mittelteil hat 96 Takte.133 Im Mittelteil kommen weitere 24 Takte mit Themenmaterial aus den Teilen 1 und 3 vor, sodass die Themenbereiche 1 und 2 mit je 72 Takten gleich groß sind. Das Praeludium hat in verschiedener Hinsicht perfekte mathematische Proportionen. Die nachfolgende Tabelle zeigt die Zahlenverhältnisse: Tabelle II.1. J.S. Bach, Praeludium c-Moll BWV 546. – Der Umfang der beiden Themenbereiche ist gleich groß. Dies gibt dem Stück eine thematische Ausgewogenheit. – Die identischen Teile 1 und 3 bilden eine Klammer um den Teil 2, der doppelt so groß ist wie Teil 1 und 2 zusammen. – Die 3 Einschübe von Themenmaterial 1 in Teil 2 vergrößern sich von 4 über 8 bis 12 Takte um je 4 Takte und entsprechen der thematischen Dreiteiligkeit von Teil 1 (3 Teile von 4, 8 und 12 Takten) – Das in Teil 2 ausgeführte Themenmaterial 2 besteht aus je 24, 17, 7 und 24 Takten. – Die Gesamttaktzahl des Praeludiums ist eine Quadratzahl (122)134 131 Komponiert 1726. 132 Mit Ausnahme des Doppelpedals in den ersten Takten von Teil 3. 133 Der Schlusstakt (144) gehört thematisch zu Teil 2, analog dem Schluss von Teil 1 (Takt 25). 134 Die Zahl 12 ist die damals einzige bekannte erhabene Zahl. Bei einer erhabenen Zahl sind deren Anzahl Teiler als auch die Summe dieser Teiler vollkommene Zahlen. Hier sind es die Zahlen 6 und 28. 95 Praeludium Teil 1 Teil 2 Teil 3 Anzahl Takte 24 96 24 von Takt bis Takt 1-24 25-119/144 120-143 -------------------- ----------------------------------- -------------------------------- ---------- Themenbereich 1 Themenbereich 2 72 Takte 72 Takte Takte: 25-48/53-69/78-84/97-119/1441-24/49-52/70-77/85-96/120-143 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Während die äußere Form des Stücks klar hörbar ist, ist die Ausgewogenheit der Themenverteilung schwer wahrnehmbar. Das Streben nach mathematischen Proportionen ist ein grundlegendes künstlerisches Bedürfnis und nicht außergewöhnlich. Es lässt sich auch bei anderen Komponisten finden. Der enge mathematische Rahmen, den sich Bach in diesem Stück auferlegte – besonders die gleichmäßige Verteilung der Themenbereiche – zwang jedoch zu einer Disziplin in der kompositorischen Arbeit, die höchste Anforderungen stellte.135 Irrationale Zahlen Von den bekannten Beispielen irrationaler Zahlen wie die Zahl π, die sectio aurea (Goldener Schnitt, oft als Zahl j bezeichnet) und √2 wurden bisher in Bachs Werk nur die sectio aurea und √2 gefunden.136 Seit wann der Goldene Schnitt als Idealteilung auch in der Musik verwendet wird, ist bisher nicht geklärt. Er dürfte allen gebildeten Komponisten bekannt gewesen sein.137 Im vorangehenden Kapitel wurden mehrere Beispiele aus der Zeit von 1400– 1690 gezeigt und besprochen. Dass auch Bach, der nachweislich mit früherer Musik vertraut war, ihn angewendet hat, ist deshalb nicht erstaunlich. Die Übereinstimmung von √2 (=1.414) mit den Namenszahlen von Bach (14, 41) ist hingegen ein Zufall. Inwieweit Bach in seinem Werk absichtlich mit diesem Zufall gespielt hat, ist schwierig zu beurteilen, auch wenn die Zahlen 14, 41 und 141 in seinem Werk zahlreich vorkommen.138 Die Teilung einer Komposition im Verhältnis des Goldenen Schnittes ist, wie oben dargestellt, nicht leicht zu realisieren. Soll sich die Genauigkeit im Bereich der ersten Fibonacci-Zahlen (1:2:3:5:8) bewegen, ist die Realisierbarkeit noch vergleichsweise einfach. Die Komplexität steigt jedoch mit zunehmender Genauigkeit des Teilungsverhältnisses. Ein Beispiel hoher Ge- 135 Die hier beschriebenen Verhältnisse wurden erstmals 1928 von A.C. Hochstetter in seiner Dissertation Die Symmetrie im Aufbau der Orgelpräludien von Joh. Seb. Bach untersucht und dargestellt. Allerdings zählt Hochstetter fälschlicherweise den Schlusstakt nicht mit. Siehe Hochstetter, S. 73. 136 Eduard Müller hat in verschiedenen Werken Bachs die s.a. nachgewiesen und diese Schülern und Kollegen gezeigt. So berichtet auch Anton Heiller davon. Siehe Planyavsky, S. 67. 137 Siehe Auseinandersetzung mit Tatlows gegenteiliger Ansicht am Schluss des Kapitels I. 138 Sehr schön z. B. in der Mittelstimme von BWV 617, die 574 (=14x41) Töne zählt. 96 ORDNUNGSASPEKTE UND MATHEMATIK BEI BACH nauigkeit in der recht großen Zahl an Goldenen Schnitten in den Werken Bachs ist das Praeludium h-Moll BWV 544. Es ist autograph überliefert und zeigt ein Wasserzeichen von 1727.139 Demzufolge muss zumindest diese Fassung danach entstanden sein. Ob es sich dabei um eine Abschrift einer eventuell früher entstandenen Vorlage handelt, ist hypothetisch. Das Stück steht im 6/8-Takt, hat 85 Takte (84 Takte + Schlussakkord von einem Achtel) und gliedert sich in fünf Teile mit drei Themenbereichen: – Teil 1 mit Themenbereich 1 (Takt 1 bis Takt 17 1/16) Kadenz auf der Tonika h-Moll – Teil 2 mit Themenbereich 2 und 1 (Takt 17 2/16 bis Takt 43 1/16) Kadenz auf der Dominante fis-Moll – Teil 3 mit Themenbereich 2 und 1 (Takt 43 2/16 bis Takt 56 1/16) Kadenz auf der Durparallelen D-Dur – Teil 4 mit Themenbereich 3 und 1 (Takt 56 2/16 bis Takt 69 1/16) Kadenz auf der Subdominante e-Moll – Teil 5 mit Themenbereich 3, 2 und 1 (Takt 69 2/16 bis Takt 85 1/16) Kadenz auf der Tonika H-Dur Um größtmögliche Genauigkeit in der Ermittlung des Goldenen Schnittes zu erhalten, muss in Sechzehnteln gerechnet werden. Die formalen Einschnitte für eine entsprechende Gliederung sind von Bach auch sechzehntelgenau gesetzt. Das Praeludium hat gesamthaft 84 Takte plus einen Achtel (=1010 Sechzehntel). Teil 1 und 5 sind gleich groß (je 193 Sechzehntel). Teil 2 ist gleich groß wie Teil 3 und 4 zusammen (je 156 Sechzehntel, gesamthaft 312 Sechzehntel). Daraus folgt, dass am Ende von Teil 2 die Mitte des Stücks ist und dass sich die Teile 1:2 wie die Teile 5:(3+4) verhalten. In Zahlen entspricht dieses Verhältnis sehr genau der sectio aurea. Dies bedeutet, dass beide Hälften des Stücks eine Teilung im Goldenen Schnitt haben, die erste Hälfte mit dem kleineren Teil vorne und die zweite mit dem kleineren Teil hinten. Die Zahlen sind folgender Tabelle zu entnehmen. 139 Autograph in Privatbesitz. Faksimile von W. Heffer, The Harrow Replicas, Nr. 4, Cambridge 1942 (mit Nachwort von O. E. Deutsch). 97 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Tabelle II.2. J.S. Bach, Praeludium h-Moll BWV 544. Die Teilung entspricht sehr genau der Formel (√5-1):2 = 0.6180339 oder algebraisch: a :b = b:(a+b) a entspricht den Teilen 1 und 5 (je 193 Sechzehntel) und b den Teilen 2 und 3+4 (je 312 Sechzehntel). Neben der Genauigkeit in der Berechnung der sectio aurea ist in diesem Praeludium besonders bemerkenswert, dass zwei Goldene Schnitte vorkommen und diese sich symmetrisch in der Mitte spiegeln. Dieses Phänomen wurde bisher im Werk Bachs nicht nachgewiesen.140 Zahlen mit besonderen mathematischen Eigenschaften und Symbolzahlen Von den Zahlen mit besonderen mathematischen Eigenschaften kommen hier ausschließlich vollkommene (oder perfekte) Zahlen (numeri perfecti) zur Darstellung.141 Eine natürliche Zahl heißt vollkommen oder perfekt, wenn sie die Summe aller ihrer Teiler außer sich selbst ist. Die Formel für deren Berechnung ist: 2n-1(2n-1). → 2n-1(2n-1) ist genau dann vollkommen, wenn 2n-1 eine Primzahl ist.142 140 Der Goldene Schnitt in der vorderen Hälfte des Stücks wurde von Eduard Müller entdeckt, sein Nachweis in der zweiten Hälfte stammt von mir. 141 Es sind im Werk Bachs auch immer wieder größere Primzahlen signifikant nachweisbar. In unserem Kontext sind sie jedoch zumeist als Symbolzahlen von Interesse und nicht in ihrer Eigenschaft als Primzahl. 142 Mit dieser Formel können alle geraden vollkommenen Zahlen berechnet werden. Es wird 98 Praeludium gesamt 1010 Teil 1 193 Teil 2 312 Ende Teil 2 = Mitte Teil 3 156 Teil 4 156 Teil 5 193 Abweichung von der Idealteilung: sectio aurea: 193 : 312 = 0.6185897 0.0005558 Anzahl 1/16 →156 + 156 = 312 ORDNUNGSASPEKTE UND MATHEMATIK BEI BACH Für die Darstellung von vollkommenen Zahlen stand Bach allerdings die Tatsache im Wege, dass es innerhalb der ersten zehntausend Zahlen nur vier vollkommene Zahlen gibt, nämlich 6, 28, 496 und 8128. Während die 6 als Gliederungszahl in der Musik elementar auftritt und die 28 bei Bach, aus welchen Gründen auch immer, häufig vorkommt und oft nicht genauer spezifiziert werden kann, ist das Auftreten der Zahl 496 hingegen selten und Zufälligkeit ziemlich unwahrscheinlich. Der Zahl 8128 bin ich bisher im Werk Bachs noch nie begegnet. Die Zahl 496 kommt jedoch spezifisch vor, stets begleitet von den beiden niedrigeren vollkommenen Zahlen 28 und 6. Im folgenden Orgelwerk, der Pièce d'orgue BWV 572, kommen diese drei vollkommenen Zahlen mehrfach vor. Da in diesem Werk auch noch zwei sectiones aureae und drei bedeutungsvolle Symbolzahlen (neben zahlreichen anderen) vorkommen, wird das Kapitel Darstellung von Symbolzahlen hier einbezogen. Die Frage der Relevanz der Zahlensymbolik im Werk Bachs dürfte bei aller Skepsis unbestritten sein. Da aber, wie schon oben in Kapitel I.2. festgestellt wurde, in allen Varianten der Hermeneutik der Deuter eine ebenso wesentliche Rolle für das Ergebnis der Deutung spielt, wie das Deutungsobjekt selber, sollen in dieser Arbeit nur Symbolzahlen zur Sprache kommen, die im Kontext eindeutig sind. Von Bachs Pièce d'orgue gibt es kein Autograph, jedoch mehrere relativ zuverlässige Abschriften aus verschiedenen Linien. Die älteste Abschrift stammt von J.G. Walther (ca. 1717–1720). Das Stück besteht aus drei nahtlos ineinander übergehenden Teilen mit den Überschriften très vitement, gravement, lentement.143 Teil 1 ist im 12/8-Takt, Teil 2 im 2/2-Takt und Teil 3 im 4/4- Takt. Bei Walther ist der Mittelteil überschrieben mit gayment, sonst übereinstimmend mit gravement. Bei Walther liegt möglicherweise ein Lesefehler vor. Die Frage bleibt allerdings offen, auf welche Schlageinheit sich die Bezeichnung gravement bezieht. Denkbar wäre, dass der 2/2-Takt ursprünglich ein 2/1-Takt war.144 Weit verbreiteter Konsens ist aber heute die Ansicht von Peter Williams, dass die Temporelation der 3 Teile in etwa .= = entspricht.145 Als Grundschlag wäre +/− MM=60 denkbar. Dann wäre = MM=60 vermutet, dass es keine ungeraden vollkommenen Zahlen gibt. 143 Diese Tempobezeichnungen sind nicht gesichert, da sie in den Abschriften nicht einheitlich oder gar nicht vorhanden sind. 144 Bernhard Billeter plädiert angesichts dieser Diskrepanz für die Richtigkeit von Walthers Tempobezeichnung gayment. Siehe Billeter, S. 264 ff. 145 Williams A, S. 288 ff. 99 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH jedoch keinesfalls gravement, sondern gayment. Es sind zwei Goldene Schnitte zu finden. Grundlage für deren Berechnung ist die dreiteilige Form. Zähleinheit ist, wie im Beispiel oben bei BWV 544, der Grundschlag des jeweiligen Taktes. 1. Teil: 28 Takte zu 4 Schlägen = 112 Schläge 2. Teil: 157 Takte zu 2 Schlägen = 314 Schläge 3. Teil: 17 Takte zu 4 Schlägen = 68 Schläge + 2 Schläge der Fermate = 70 Schläge sectio aurea 1: Die beiden Teile 1 und 3 stehen zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnittes: 17 : 28 (oder 68 :112) = 0.60714 (Abweichung: 0.01085) bzw. 17.5 : 28 (oder 70 :112) = 0.625 (Abweichung: 0.00697) Beide Teilungen sind genau. Die Variante 2 ist genauer. Dass diese Variante die von Bach vermutlich gerechnete ist, wird weiter unten bei der Darstellung einer möglichen zahlensymbolischen Deutung sichtbar. sectio aurea 2: Ausgangslage sind wiederum die Grundschläge der einzelnen Teile, diesmal jedoch aller 3 Teile. Geht man für die Ermittlung der Grundschläge von den Tempobezeichnungen aus, ergibt sich: – très vitement für den Notenwert: . – gravement für den Notenwert: – lentement für den Notenwert: Dann haben die Teile folgende Anzahl an Schlägen: 1. Teil: = 112 Schläge 2. Teil: = 156.25 Schläge 3. Teil: = 140 Schläge (136 Schläge + 4 Schläge Fermate) Somit haben die beiden Eckteile zusammen 252 Schläge und der Mittelteil 156.25 Schläge. Sie bilden das Verhältnis 156.25:252=0.6200 (Abweichung: 0.00200) 100 ORDNUNGSASPEKTE UND MATHEMATIK BEI BACH Diese sectio aurea ist nicht spürbar, da sie eine rein rechnerische ist, mit allerdings erheblicher Plausibilität. Grundpuls im Spielfluss bleibt jedoch das Verhältnis .= = . Damit können sich aber die Tempobezeichnungen nicht auf die zu spielenden Schlageinheiten beziehen, sondern nur auf die gerechneten. Für diese sectio aurea bleiben also angesichts der überlieferten Fakten (Takt des Mittelteils und dessen Tempobezeichnung) offene Fragen, die gegenwärtig noch nicht beantwortet werden können. Die drei in BWV 572 gefundenen perfekten Zahlen (numeri perfecti) sind 496, 28 und 6. Während sich im Werk Bachs die Zahl 6 sehr oft und die Zahl 28 ab und zu finden lassen und deshalb Zufälligkeit nicht auszuschließen ist, kann das Auffinden der Zahl 496 kaum einem Zufall zugeschrieben werden. Die Zahl 496 ist in BWV 572 gleich zweimal zu finden: – Zum einen in der Anzahl der Schläge gemäß Taktvorgabe: 1. Teil: 12/8-Takt ® 28 Takte mit 112 Schlägen 2. Teil: 2/2-Takt ® 157 Takte mit 314 Schlägen 3. Teil: 4/4-Takt ® 17 Takte mit 68 Schlägen + 2 Fermaten-Schläge = 70 Schläge Gesamtzahl der Schläge: 496 – Zum anderen in der Anzahl der Töne der beiden Eckteile: 1. Teil: 670 2. Teil: 1672 (mit 3 bzw. 5 zusätzlichen Trillernoten in den Takten 39 und 122) 3. Teil: 818 Total: 3160 Gesamtzahl der Töne der beiden Eckteile: 1488 Töne = 3x496 Die Zahl 28 ist insofern prominent zu finden, als der 1. Teil aus 28 Takten besteht. Die Zahl 6 ist in den Teilen 1 und 3 in Form der Sextolen allgegenwärtig. Das Hauptproblem der Deutung von Symbolzahlen liegt in der Tatsache der fast grenzenlosen Variabilität möglicher Deutungen. So hat zum Beispiel jede der Zahlen von 1–34 eine eigene symbolische Bedeutung und mehrere dieser Zahlen sind in jedem Stück zu finden. Es ist einfach, sie so zu deuten, dass sie zum Inhalt des Stückes oder anderen Kriterien passen. Vor allem die Primzahlen, in erster Linie die tiefen bis 10, kommen ohnehin in den meisten Stücken als Faktoren vor. Es muss deshalb ein klarer Bezug gegeben sein zu inhaltlichen, textlichen oder formalen Strukturen. 101 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH In BWV 572 sollen nur drei Auffälligkeiten erwähnt sein: 1. Die Teile 1 und 3 haben 112 bzw. 70 Schläge. 112 ist die Buchstabensumme von Christus und 70 diejenige von Jesus. Die beiden Zahlen stehen zueinander, wie oben gezeigt, im Verhältnis des Goldenen Schnittes.146 Auch die Anzahl der Buchstaben der lateinischen Wörter IESUS CHRIS- TUS, 5 und 8, bilden eine sectio aurea, ebenfalls die Zahlensumme der griechischen Wörter 'Ihsou=j Xristo¿j, 888 und 1480.147 ® 888:1480 = 0.6 siehe auch: 888=3x8x37/1480=5x8x37/888+1480=2368=8x8x37 2. Der Mittelteil hat 157 Takte. 157 ist eine Primzahl und die Buchstabensumme des Leitspruchs der Rosenkreuzer: Jesus mihi omnia.148 Diese Tatsache könnte relevant sein, wenn sie zu den eben genannten Christus- Zahlen in Beziehung gesetzt wird. 3. Die Gesamtsumme der Töne in BWV 572 ist 3160 (670+1672+818). 3160 ist das Produkt von 20x158. 158 bildet die Buchstabensumme von Johann Sebastian Bach (siehe Appendix I Zahlen und ihre Symbole). Da die Genauigkeit der Zahl 3160 schon aus Gründen der nicht autographen Überlieferung hypothetisch ist, kann diese Deutung nicht als gesichert gelten. Die in diesem Kapitel beschriebenen Zahlenkonstrukte und -spiele sollten Bachs Affinität zu Zahlen, Zahlenverhältnissen und auch etwas anspruchsvollerer Arithmetik soweit deutlich gemacht haben, dass es naheliegend zu sein scheint, nachfolgend auch das O=B auf solche und weitere Spielformen hin zu untersuchen. Ziel dabei sind jedoch nicht die Darstellungen dieser Spielformen an sich, sondern die daraus zu ziehenden möglichen Rückschlüsse auf Absicht, Planung und Vollendung des O=B. Zunächst bedarf aber eine wichtige Frage der Klärung: Wie kam Bach mit der Zahlenspielerei und der Wortrechnung in Berührung und welches oder welche Zahlenalphabete hat er verwendet? Seit nunmehr Jahrzehnten wird diese Frage kontrovers diskutiert. Die Spannweite geht dabei von völli- 146 Siehe Siegele A, S. 12ff, und Siegele B, S. 215– 240. 147 Gemäß griechisch-milesischem Zahlenalphabet. Siehe Appendix I Zahlen und ihre Symbole. 148 Die Leitsprüche der Rosenkreuzer finden sich in der Rosenkreuzerschrift Fama Fraternitatis von 1614 auf den Seiten 114 ff. 102 ORDNUNGSASPEKTE UND MATHEMATIK BEI BACH ger Ablehnung bis zu überbordender Nachweisbejahung. Da wir von Bach jedoch keine persönlichen Hinweise dazu haben, sind wir auf Nachweise in seinem Werk angewiesen. Dabei ist zu unterscheiden zwischen Arithmetik und Symbolik. Arithmetische Strukturen sind zumeist eindeutig nachweisbar und zuverlässige Indikatoren für das Erkennen eines Willens der Gestaltung mit Hilfe von Zahlen. Im Bereich des Erkennens von Symbolzahlen ist Eindeutigkeit des Nachweises eines solchen Willens sehr viel schwieriger bis unmöglich gegeben. Deswegen das Vorhandensein von Zahlensymbolik zu bestreiten, bewegt sich jedoch argumentativ auf dem selben unsicheren Boden.149 Notwendig ist deshalb eine geistesgeschichtliche Betrachtung von Bachs Umfeld. Grundlage für seine allgemeinen Kenntnisse bildete zunächst seine gymnasiale Ausbildung in Ohrdruf und Lüneburg. Im gründlichen Unterricht in lateinischer Sprache und in den Fundamenten des christlichen Glaubens wurde das Grundwissen vermittelt, auf das in den vorangehenden Kapiteln hingewiesen wurde.150 Nicht nur in Lüneburg, sondern auch bei seinen Aufenthalten in Hamburg, insbesondere aber bei seinem viermonatigen Bildungsurlaub in Lübeck, kam Bach mit weiterem Bildungsgut in Kontakt. Welchen Einfluss dies auf Bach hatte, ist schwierig direkt nachzuweisen. So ist beispielsweise schwer zu eruieren, wie weit Bach die beiden für die Zahlenallegorese im Bereich der Musik wichtigen Theoretiker Zarlino und Kircher kannte. Beide waren jedoch in Musikerkreisen noch zu Bachs Zeiten derart stark diskutierte Größen, dass man davon ausgehen darf, dass Bach sie kannte.151 Immerhin listet Johann Gottfried Walther die Werke dieser beiden wichtigen Musiktheoretiker in seinem als Briefanhang verfassten Verzeichnis seiner Bibliothek an den Wolfenbütteler Heinrich Bokemeyer vom 4. April 1729 an erster Stelle auf.152 Neben diesen beiden bedeutenden Theo- 149 In der Bibliographie sind kontroverse Schriften bezüglich dieser Thematik von Kee, Kramer, Meyer, Widmann, Wurm u. a. angeführt. Klärend in der Sache ist Clement D (Einführung und Schlussbetrachtung). 150 Siehe dazu Petzoldt, S. 7 ff. 151 J.G. Walther widmet sowohl Zarlino wie Kircher je einen größeren Artikel in seinem Lexikon von 1732. Siehe Walther B, S. 655 und S. 340. 152 J.G. Walther: Catalogus librorum theoretico-musicorum, quos possideo, in folio. Heinrich Bokemeyer (1679–1751) pflegte mit J.G. Walther über viele Jahre einen intensiven Briefwechsel, von dem jedoch nur noch Walthers Briefe an Bokemeyer erhalten sind. Bokemeyer war Anhänger alchymistischer Praktiken. Er war in seinen letzten Lebensjahren mit Bach zu- 103 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH retikern waren auf dem Gebiet der Zahlenallegorese die Werke von Johannes Reuchlin, einem Großonkel von Melanchthon, Agrippa von Nettesheim und Michael Stifel sehr bekannt und verbreitet.153 Vor allem Michael Stifel war berühmt und leider auch berüchtigt für seine Wortrechnungen. Seine Vorausberechnung des nicht eingetretenen Weltuntergangs im Oktober 1533 hat ihn und seine Methode der Wortrechnung zu Recht in ein schlechtes Licht gestellt. Gerne wird dabei aber vergessen, dass Stifel ein bedeutender Mathematiker war und sein Werk, die Arithmetica integra, zu den bedeutendsten mathematischen Schriften des 16. Jahrhunderts zählt. Ein Kapitel dieses Lehrbuches widmet Stifel u. a. der Anleitung zur Konstruktion von Magischen Quadraten.154 Erstaunlicherweise stellte Stifel selber, und neben und nach ihm zahlreiche andere Autoren auch, die Methode der Wortrechnung nach dem offensichtlichen Misserfolg der Weltuntergangsvorhersage nicht grundsätzlich in Frage.155 Auf welchen Wegen Bach mit Stifels und weiteren, später veröffentlichten Schriften in Berührung kam, ist nicht mehr feststellbar.156 Die Kenntnis über deren Inhalt war jedoch verbreitet und deshalb auch für Bach nicht schwierig greifbar.157 Die Frage nach dem oder den von Bach verwendeten Zahlenalphabeten ist bezüglich des griechischen und des hebräischen Alphabets relativ einfach zu beantworten. Da die griechische Sprache keine eigenen Zeichen für die Zahlen hatte, sondern dazu die Buchstaben des Alphabets verwendete, entwickelte sich ein Zahlenalphabet, das schon in der Zeit der klassischen Antike eine hohe Verbindlichkeit hatte. Es ist als Milesisches Zahlenalphasammen Mitglied der Mizlerschen Sozietät in Leipzig. 153 Reuchlin (1455–1522), Agrippa von Nettesheim (1486–1535), Stifel (1487–1567) A, Stifel B. 154 Siehe Anleitung zur Konstruktion von Magischen Quadraten in Stifel A, liber I, Cap. III, S. 24 ff. Auszug in der Einleitung. 155 Siehe Stifel B. 156 Die Bibliothek der Leipziger Thomasschule besaß mehrere Schriften Stifels. Siehe die Darstellung der Anleitung zur Konstruktion von Magischen Quadraten bei Adam Ries und Michael Stifel in der Einleitung sowie den Hinweis auf die Schriften von Paracelsus in Appendix IV Ergänzende Texte und Bilder. 157 Auch rosenkreuzerische Schriften waren überall greifbar. So ist bekannt, dass etwa auch der kritische Geist Leibniz versuchte, das Alchymia-Rätsel von Andreä zu lösen. Siehe Kramer, S. 59. 104 ORDNUNGSASPEKTE UND MATHEMATIK BEI BACH bet bekannt.158 Bezüglich der lateinischen Zahlenalphabete ist es komplizierter. Es bestand von der Sprache her keine Notwendigkeit, Zahlen mit Buchstaben auszudrücken, weil die römische Sprache Zahlzeichen hatte.159 Zahlenalphabete dienten also von Anfang an einem zumeist esoterischen Hintergrund zur Verschlüsselung von Wörtern und Sätzen. Da sich dieses Alphabet jedoch der Sprachentwicklung des Lateinischen und seiner abgeleiteten Sprachen anpasste, gab und gibt es keine verbindlichen Zahlenalphabete.160 Dazu kommt, dass es Alphabete verschiedener Ordnung gab und gibt, zum Beispiel Thesis-, milesische und trigonale Alphabete. Ruth Tatlow versuchte in ihrer Arbeit Bach and the Riddle of the Number Alphabet diese Frage zu klären.161 Sie listet zwar eine größere Zahl von Zahlenalphabeten auf, die zu Bachs Zeit bekannt und auch in Gebrauch waren, kommt aber einer Antwort auf die Frage, welches oder welche Alphabete Bach verwendet hatte, nicht näher. Den nachfolgenden Untersuchungen liegen das griechisch-milesische Alphabet und die sogenannte cabbala simplicissima zu Grunde, ein lateinisches Zahlenalphabet (mit I=J, K, U=V und W), das seit den Rosenkreuzern um Valentin Andreae verbreitet war.162 Dass Bach dieses Alphabet mehrheitlich anwandte, beweist die Tatsache, dass die wichtigsten seiner Namenszahlen, 14, 29, 41, 108 und 158, die sehr häufig nachgewiesen werden können, mit diesem Alphabet gerechnet sind.163 Es können sich jedoch Rechnun- 158 Das Alphabet nach dem Thesis-Prinzip hat sich v.a. im Bereich der Mathematik nicht durchgesetzt, weil mit ihm nur die Darstellung der ersten 24 Zahlen möglich ist. Siehe Henning, S. 46 und Abbildung in dieser Arbeit auf S. 62. Siehe Appendix II Zahlenalphabete und Einleitung Gematrie. Siehe auch Dornseiff, S. 11 und Ifrah, S. 286 ff. 159 Die allerdings auch Buchstaben waren. 160 Zu den ursprünglichen Buchstaben kamen im Verlaufe der Zeit k und w, später auch j und u dazu. 161 Tatlow. 162 Schon seit Michael Stifel war ein vergleichbares Zahlenalphabet in Gebrauch, allerdings mit nur 23 Buchstaben (ohne w) und ausschließlich für die lateinische Sprache. Für die Verwendung in der deutschen Sprache wurde es später um das w ergänzt. Siehe Appendix IV Ergänzende Texte und Bilder. Die erstmalige Verwendung der cabbala simplicissima mit 24 Buchstaben ist 1525 bei Rudolff nachweisbar. Siehe Rudolff, S. 488. Der Begriff stammt von Henning, S. 46 f. 163 Die Buchstaben von Bachs Namen gehen im Alphabet freilich nur bis T. Ob sein hier verwendetes Zahlenalphabet das W enthielt oder nicht, ist damit nicht ersichtlich. Diese Frage stellt sich daher erst in anderem Kontext. Siehe Kapitel IV.2 Die Initialenquadrate. 105 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH gen mit dem griechisch-milesischen Zahlenalphabet und der cabbala simplicissima überlagern. Rechnungen mit dem alphabetum trigonale sind bisher in Bachs Werk wenige bekannt.164 Facsimile II.1. Christoph Rudolff, Zahlenalphabet, sog. cabbala simplicissima, aus seiner Coss von 1525, S. 488. 164 Kramer, S. 44 ff. 106

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Zusammenfassung

Bachs ‚Orgelbüchlein‘ (O=B) galt bislang als musikalischer Torso. Lediglich 46 von den insgesamt 164 im Autograph eingetragenen Choraltiteln wurden auch komponiert. Felix Pachlatko liefert anhand neu entdeckter arithmetischer Strukturen im Werk den Nachweis, dass das O=B nicht nur als in seiner vorliegenden Form geplant, sondern auch als vollendet betrachtet werden muss. Dabei ist die Art und Weise, wie Bach das O=B strukturierte, nicht neuartig. Die Grundlagen dieser Verbindung von Musik und Mathematik liegen im pythagoreischen Denken begründet. Beispiele hierzu lassen sich in der Musik von der Mitte des 14. Jahrhunderts bis hin zu Bachs unmittelbaren Vorgängern finden. Neben ganzzahligen Verhältnissen und Goldenen Schnitten werden im O=B erstmals auch Magische Quadrate und ein Magischer Kubus nachgewiesen. Das anspruchsvollste Konstrukt dürfte jedoch ein äußerst genauer Goldener Schnitt sein, der die gesamte komponierte Anlage betrifft und der mit der Mitte der Cantica pro tempore zusammenfällt.