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I. Die Zahl als Struktur- und Bedeutungsträger in der Musik in:

Felix Pachlatko

Das Orgelbüchlein von Johann Sebastian Bach, page 47 - 92

Strukturen und innere Ordnung

1. Edition 2017, ISBN print: 978-3-8288-3898-7, ISBN online: 978-3-8288-6701-7, https://doi.org/10.5771/9783828867017-47

Series: Wissenschaftliche Beiträge aus dem Tectum Verlag: Musikwissenschaft, vol. 9

Tectum, Baden-Baden
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DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK I. Die Zahl als Struktur- und Bedeutungsträger in der Musik I.1. Die Zahl als Strukturträger Die arithmetischen Funktionen der Zahl in der Musik sind vielfältig. Auch wenn sich die Theoretiker, wie oben kurz dargestellt, seit der Antike in erster Linie mit den Problemen der Intervallverhältnisse auseinandergesetzt haben, sah sich die praktische Musikausübung und -komposition vor allem mit beginnender Mehrstimmigkeit zunehmend mit Fragen der Ordnungsstrukturen in ihren horizontalen und vertikalen Anordnungen konfrontiert. Gleichwohl blieben Pythagoras und seine Schule stets Leitlinie. Es versteht sich, dass dabei analoge Vorgehensweisen wie bei den darstellenden Künsten, der Architektur und auch der Rhetorik zu beobachten sind. Die Gliederungen der Notenwerte, der Takte, der Stimmenzahl, der Kompositionsteile u.s.f. werden mittels Zahlen vorgenommen. Dabei kommen einerseits verschiedene Zahltypen vor, rationale und irrationale Zahlen zum Beispiel, als auch Zahlenreihen und Zahlenfiguren, andererseits aber auch geometrische Anordnungen, wie Linien, Kreise, Vielecke u.s.f. Manchmal können die Ordnungsbemühungen übergehen in ein virtuoses Spiel mit Zahlen. Eine Deutung dessen ist allenfalls möglich, kann sich aber auch erschöpfen in der bloßen Feststellung der Freude am Spiel. Wenden wir uns nacheinander den beiden Zahltypen zu. Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann, z. B. 1/2, 3/4, 2/1, 4/2.67 Im hier dargestellten geschichtlichen Zeitraum sind die Strukturen der Stimmenzahl, der Takte, der Kompositionseinheiten und oft auch der Taktzahlen zumeist in gerad- oder ungeradzahlige Einheiten gegliedert. Bei der Anzahl der Stimmen sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (9, 10, 11) und 12 die weitaus häufigsten Anordnungen. Bei den Takten gibt es gerade und ungerade, mit geradem oder ungeradem Metrum. Dabei beschränken sich die Takte und Metren auf 2er-, 3er- und 4er-Takte bzw. 2er- und 3er-Metren. Die Anzahl der Takte der verschiedenen Einheiten innerhalb einer Komposition kann auch einer Gliederung unterworfen sein, muss aber nicht zwingend. Die überwiegende Anzahl an (mehrstimmigen) Kompositionen des hier relevanten Zeitraumes 67 Siehe Beutelspacher, S. 65 ff. 47 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH von etwa 1400–1750 n. Chr. haben klar erkennbare Strukturen in rationalen Zahlen.68 Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.69 Bekannte Beispiele sind die Zahl π, die sectio aurea (Goldener Schnitt) und √2.70 Die Darstellung einer irrationalen Zahl in einem Musikstück stellt an den Komponisten hohe Anforderungen und muss im Vorfeld des Komponiervorgangs minutiös geplant werden. Im Vordergrund unserer Betrachtungen stehen die sectio aurea (s.a.) oder Goldener Schnitt und die auf der s.a. aufbauende Fibonacci-Folge.71 Ein frühes Beispiel von Gliederungen im Verhältnis des Goldenen Schnittes findet sich in der Ballade Resvellies vous von Guillaume Dufay (1397–1474). Die Ballade wurde komponiert zur Hochzeit von Vittoria di Lorenzo Colonna, einer Nichte von Papst Martin V., und Carlo Malatesta (aus der Pesaro-Linie) am 18. Juli 1423 in Rimini. Das dreiteilige Werk hat drei Teilungen im Verhältnis des Goldenen Schnittes für das ganze Werk und zusätzlich je eine Teilung für die drei Einzelteile.72 Das Stück hat 73 Takte, größter gemeinsamer Notenwert ist der Achtel (im Original die Minima). Die Takte 50–53 müssen doppelt gezählt werden, ebenso die je mit einer Longa versehenen Schlusstakte von Teil 1 und 3. Üblicherweise sind die Schlusslongae ultra mensuram, das heißt, ihre Länge ist 68 Siehe Sapientia Salomonis 11,21: Sed omnia mensura et numero et pondere disposuisti. 69 Beutelspacher, S. 70 ff. 70 Die geometrische und algebraische Darstellung der sectio aurea erfolgt im Kapitel VII. 71 Leonardo da Pisa (1171–1249), genannt Fibonacci, soll die angesprochene Zahlenfolge angeblich als Antwort auf eine Frage des Kaisers Friedrich II. gegeben haben, wieviele Kaninchenpaare während eines Jahres entstehen würden, wenn jedes neugeborene Paar ab dem zweiten Monat nach seiner Geburt jeden Monat ein weiteres Paar zur Welt brächte. Als Antwort soll Leonardo die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … angegeben haben. Sie ist dargestellt in seinem liber abaci. Siehe Ausgabe Boncompagni, S. 283 / 284. Die Folge war allerdings schon vor ihrem Namensgeber bekannt. Dass die Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonaccizahlen sich dem Goldenen Schnitt annähern, wurde von Johannes Kepler festgestellt, möglicherweise aber auch schon früher. Erstmals erwähnt als besondere Form der sectio aurea bei Jacob 1594. Auch Kepler hat sie erkannt (Siehe Brief an Michael Mästlin in: Briefe 1590–1599. Ed. M. Caspar 1945). Darstellung von Fibonacci-Folgen im O=B siehe unter Kapitel VI.3. 72 Die Darstellung der sectio aurea ist der Arbeit von Allan W. Atlas entnommen. S. 111–126. 48 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK nicht definiert. Im Rahmen einer arithmetischen Struktur müssen sie jedoch zwangsläufig zählbar eingebunden werden, das heißt, man muss ihnen einen Wert zuordnen. Notenbeispiel I.1. Guillaume Dufay, Ballade Resvellies vous 1423. 49 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH 50 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK Bezüglich des ganzen Stückes sind drei Goldene Schnitte feststellbar:73 1. Teilung: 73x0.382=27.886, in Takt 28 (im Notenbeispiel schwarzer Strich), 2. Teilung: 73x0.618=45.114, in Takt 46 (im Notenbeispiel schwarzer Strich). a b b a 1 28 46 73 1 15 23/24    34 50/51    65 73 b a a b b a Teil I Teil II Teil III Übersicht I.1. Gliederungen der Dufay-Motette Resvellies vous im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Die arabischen Zahlen beziehen sich auf die Taktzahlen. Bezüglich der Einzelteile sind folgende Unterteilungen feststellbar: Teil I: 23x0.618=14.214 zu Beginn des Taktes 15 (im Notenbeispiel roter Strich). Teil II: 27x0.382=10.314 zu Beginn des Taktes 34 (im Notenbeispiel roter Strich). Teil III: 23x0.618=14.214 zu Beginn des Taktes 65 (im Notenbeispiel roter Strich). Weiter verhalten sich, dies als dritte Teilung des Gesamtwerkes, die beiden gleich großen Teile I und III zum Teil II ebenfalls im Verhältnis des Goldenen Schnittes, sofern die beiden Schlusstakte der Teile I und III mit ihren Longae als Einzeltakte, also ultra mensuram, gerechnet werden:74 73 Atlas hat nur die Unterteilung von 73x0.618= 45.114 bemerkt. S. 111 ff. Es gibt aber auch eine Unterteilung in 73x0.382= 27.886. 74 Diese Proportion findet sich bei Atlas nicht. 51 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Teil I = 22 Takte + Teil III = 22 Takte = 44 Takte. Teil II = 27 Takte. → 27 ÷ 44 = 0.6136. Die Abweichung von 0.618 beträgt 0.0043. Atlas zeigt in seinem Artikel auch noch gematrische Strukturen. Allerdings ist dabei seine Deutung der Zahl 54 als Buchstabensumme von Dufay wohl falsch. D u f a y 4 20 6 1 23 Σ 5475 Übersicht I.2. Buchstabensumme des Namens Dufay nach Atlas. Atlas setzt als Zahlenalphabet die cabbala simplicissima mit 24 Buchstaben voraus (mit dem Buchstaben W). Dieses Zahlenalphabet wurde aber erstmals nachweisbar von Rudolff 1525 und nur im deutschsprachigen Raum verwendet. Ein Zahlenalphabet mit dem Buchstaben W war für die lateinischen Länder auch nicht sinnvoll, da der Buchstabe nicht vorkam. Auch heute noch wird er nur in Fremdwörtern gebraucht. Dufay war Franzose und lebte fast ausschließlich in Frankreich und Italien.76 Er hat mit größter Wahrscheinlichkeit nie ein Zahlenalphabet mit W verwendet und mit Sicherheit nicht für ein Werk, das er in Italien für italienische Gönner schrieb. Somit hat der Buchstabe Y bei ihm die Ordnungszahl 22. Der Name Dufay ergibt deshalb die Buchstabensumme 53. Weiter unten (Kap. I.2.) werde ich auf dieses Problem noch einmal zurückkommen. Als zweites Beispiel sei ein Orgelwerk angeführt, das der Zeit des italie nischen Frühbarock entstammt, also rund zweihundert Jahre nach Dufays Motette geschrieben wurde. Es ist eine Toccata für Orgel aus dem 2. Toccatenbuch des römischen Petersdom-Organisten Girolamo Frescobaldi (1583– 1643). Beim 2. Toccatenbuch (1627/37) handelt es sich um das 3. Opus des Komponisten und in der vorliegenden Toccata quinta um das 5. Stück dieses Opus. Das Stück umfasst fünf Teile mit jeweils gleichbleibendem Orgelpunkt im Bass. 75 Atlas, S.111 ff. 76 Zwischen 1414 und 1418 ist seine Anwesenheit am Konzil in Konstanz belegbar. Verhandlungssprache war aber auch hier das Latein. 52 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK Notenbeispiel I.2. Girolamo Frescobaldi, Toccata 5 aus dem 2. Toccatenbuch 1637. 53 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH 54 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK 55 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Folgende Gliederung lässt sich feststellen: 1. Teil über g: 8 Takte 2. Teil über c: 13 Takte 3. Teil über f: 14 Takte 4. Teil über a: 21 Takte 5. Teil über d/g: 15 Takte Zwei Zahlenreihen werden dargestellt. Die Teile 1, 2 und 4 bilden mit den Zahlen 8, 13 und 21 einen Ausschnitt einer Fibonacci-Folge. Die Teile 2, 3 und 5 bilden ein Segment einer arithmetischen Folge mit den Zahlen 13, 14 und 15. Beide Reihen haben die Gesamtsumme 42. Die Zahl 13 bildet mit der doppelten Zugehörigkeit zu beiden Reihen eine Art Angelpunkt. Ohne die Zahl 13 zählen beide Seiten 29, also die Teile 1 und 4 (Quersumme = 5) und 3 und 5 (Quersumme 8). Auf weitere mögliche Interpretationen der Zahlen muss hier verzichtet werden, auch wenn dies interessant sein könnte. Immerhin ist es denkbar, dass Frescobaldi die Fibonaccizahlen 3, 5 und 8 sowohl als Quersummen der Teile 1 und 4, bzw. 3 und 5, als auch als Werkzahlen, nämlich Opus 3 / Nummer 5 im Auge hatte. I.2. Die Zahl als Bedeutungsträger Zahlensymbolik Dass die Zahl nach antiker Vorstellung nicht nur eine arithmetische Funktion hat, sondern auch Bedeutungsträger ist, wurde in den Darstellungen oben deutlich. Nach pythagoreisch-platonischem und in der Folge auch nach augustinischem Verständnis ordnen die Zahlen die Welt physisch und metaphysisch. Dieses Verständnis bildet eine der Grundlagen für die reiche Symbolik in und mit der Zahl und damit auch Grundlage der nicht begrenzbaren Möglichkeiten ihrer Deutung. Weil es oft keine Eindeutigkeit gibt, diese nicht selten auch gar nicht angestrebt wird, sind Deutungen zwangsläufig abhängig vom Deuter selbst. Dieser Umstand macht das ganze Gebiet der Zahlensymbolik dem heutigen Verständnis von Wissenschaftlichkeit suspekt. Eine Auseinandersetzung mit der Zeit vor der Aufklärung kann jedoch nicht auf den Einbezug der Zahlenallegorese verzichten, dies wäre genauso unwissenschaftlich. So bleibt die Beschäftigung mit der Zahlensym- 56 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK bolik eine Gratwanderung. Die Relevanz einer Deutung zeigt sich dabei an Hand von Quervergleichen und Analogien. Oben sind wir der hermeneutischen Zahlenakrobatik von Augustin begegnet.77 Diese ist trotz ihres spekulativen Charakters fester Bestandteil der Zahlenallegorese des christlichen Mittelalters geworden. Es liegt auf der Hand, dass sich nicht nur die darstellenden Künste und die Architektur der Zahlensymbolik bedienten, sondern auch die Musik und die Dichtkunst.78 Ein besonders schönes Beispiel für die Verbindung von Architektur, Dichtkunst und Musik findet sich ebenfalls bei Guillaume Dufay in der zur Einweihung des Domes von Florenz am 25. März 1436 geschriebenen und komponierten Motette Nuper Rosarum Flores.79 Das nachfolgende Notenbeispiel zeigt die Notenpartitur. 77 So z. B. die Deutung der Zahl 153 im oben zitierten Text aus de doctrina christiana. 78 Das wohl berühmteste Beispiel in der Dichtkunst ist die Divina Commedia von Dante Alighieri (1261–1321). 79 Papst Eugen IV., der zur Zeit der Kirchweihe in Florenz residieren musste, weihte den Dom und schenkte der Stadt zur Kirchweihe aus Dankbarkeit eine goldene Rose. Darum lautet der Titel der Motette: Nuper rosarum flores. Den Text von Triplum und Motetus schrieb Dufay möglicherweise selber. Bassus und Tenor singen den zu Kirchweihen üblichen Text aus Gen. 28,17: Terribilis est locus iste. 57 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Notenbeispiel I.3. Guillaume Dufay, Nuper rosarum flores 1436.80 80 Hrsg. M.A.B. Soloists, transkribiert von Moriwaki Michio, Zahlenangaben am Schluss F.P. 58 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK 59 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH 60 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK 61 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH 62 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK 63 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH 64 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK 65 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH 66 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK Die Taktbezeichnungen im oben abgedruckten Notentext sind falsch. Für die einzelnen Teile gilt Folgendes: – 1. Teil: tempus perfectum (6/2 bzw. 3/1) – 2. Teil: tempus imperfectum (4/2) – 3. Teil: tempus imperfectum diminutum (2/2) – 4. Teil: tempus perfectum diminutum (3/2). Somit haben die Teile folgende Schlagzahl: Teil 1=168, Teil 2=112, Teil 3=56, Teil 4=84. Sie stehen zueinander im Verhältnis 6:4:2:3, analog den Proportionen des Salomonischen Tempels (1. Kön. 6).81 Die Anzahl der Taktschläge 81 Der Salomonische Tempel ist als Haus des Herrn Vor- und Sinnbild der Kirche als gottesdienstlicher Raum ganz allgemein, hier aber im Besonderen des zu weihenden Doms von Florenz. Siehe Föller, S. 474. 67 Triplum 583 Motetus 385 Tenor 64 Bassus 63 Total 1095 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH der vier Teile (168, 112, 56, 84) sind je durch 28 teilbar. 28 ist der 2. numerus perfectus.82 Gleichzeitig spielt auch die vielfältige Bedeutung der Zahl sieben eine Rolle. Der Text von Dufay enthält vier Strophen mit je sieben Versen zu sieben Silben. Da der 2. numerus perfectus seinerseits durch 7 teilbar ist, ist die 7 als Strukturelement allgegenwärtig. Bezüglich des Kasus der Florentiner Kirchweihe, der Dom ist Santa Maria del fiore gewidmet, dürfte die 7 am ehesten mit den sieben Schmerzen und den sieben Freuden Mariens in Verbindung zu bringen sein. Während diese Deutungen weitgehend unbestritten sind, werden weitergehende Deutungen, etwa diejenige von Charles Warren, der die salomonischen Proportionen auch im Florentiner Dom selbst findet, noch immer kontrovers diskutiert.83 Gematrie Die Gematrie hat ihren Ursprung im Umstand, dass sowohl im griechischen wie im hebräischen Sprachraum keine eigenen Zahlzeichen existierten.84 Stattdessen wurden die Buchstaben gleichzeitig als Zahlzeichen verwendet. Jeder Buchstabe konnte so auch als Zahl gelesen werden und jedes Wort als große Zahl, als deren Quersumme oder auch als Zahlengruppe. Während Gematrie dadurch im griechischen und hebräischen Sprachraum eine ganz natürliche Grundlage hatte, war sie in Sprachräumen, die Zahlzeichen kannten, ein in Analogie entstandenes künstliches Verfahren. Woher das Wort Gematrie, zu Deutsch etwa "Wortrechnung", kommt, ist nicht eindeutig nachweisbar. Weitgehend übereinstimmend werden die sprachlichen Wurzeln in den griechischen Wörtern gewmetr aí oder grammate aí vermutet. 82 Eine Zahl wird numerus perfectus genannt, wenn sie gleich der Summe ihrer Teiler außer sich selbst ist. Die ersten vier numeri perfecti sind 6, 28, 496 und 8128. 83 Warren, S. 92–105 und Föller, S. 473–486. Siehe die kritischen Anmerkungen von Willem Elders in Elders B, S. 13 ff. 84 Es gab sowohl im alten Griechenland wie in Palästina unterschiedliche Zeichen für Zahlen. Sie setzten sich jedoch nicht durch und sind für den diese Arbeit betreffenden Zeit raum nicht von Belang. 68 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK Facsimile I.1. Lateinisches Zahlenalphabet. In: Michael Stifel, Ein Rechenbüchlin vom Endchrist, Wittenberg 1532. 1. Kapitel (ohne Seitenzahlen). Facsimile I.2. Griechisch-milesisches Zahlenalphabet. In: Johann Henning, Cabbalologia, Leipzig 1683, S. 39. 69 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Facsimile I.3. Hebräisches Zahlenalphabet. In: Johann Henning, Cabbalologia, Leipzig 1683, S. 5. Zur Verschlüsselung und auch einer erweiterten Interpretation von Wörtern spielte die sogenannte Isopsephie eine wichtige Rolle, die besagt, dass Bedeutungsverwandtschaft oder auch -austausch möglich ist, wenn zwei Wörter die selbe Buchstabensumme haben. So spielte in der Gnosis etwa die Tatsache eine Rolle, dass AGION ONOMA, NEILOS und MEIQRAS isopsephisch waren (=365).85 Dies bedeutete, dass ihr Unaussprechlicher (Heiliger Name = Gott) dem ägyptischen Nilgott, hinter dem Osiris stand, und dem persischen Sonnengott Mithras gleichgestellt war. Im hebräischen Sprachraum waren z. B. die Worte אחד = ECHAD (Eins, der Eine = 13) und אהבה = AHABAH (Liebe = 13) isopsephisch und wurden einander gleichgesetzt.86 Ihre Summe ergab 26, was die Buchstabensumme von הויה = JHVH (Gott) ist. Es liegt in der Natur der Sache, dass sich auf diese Weise ein fast unermessliches Deutungsfeld auftut. Welche Probleme dabei entstehen können, zeigt ein Beispiel aus Bachs unmittelbarem Umfeld: Die Namen Johann Ludwig Krebs und Jesus Christus sind isopsephisch (=182).87 Grundlage für alle hier aufgeführten Beispiele sind Zahlenalphabete. Welche Zahlenalphabete wann und wo verwendet wurden, kann nicht Gegenstand dieser Untersuchung sein.88 In dem für diese Arbeit relevanten Rahmen gelten für die griechische Sprache das Zahlenalphabet nach milesischem Prinzip und für die hebräische Sprache das nach griechischem Vorbild adaptierte System.89 Die in der Antike auch verwendete Thesiszählung mit dem griechi- 85 Siehe Dornseiff und Ifrah. 86 Siehe Appendix II Zahlenalphabete, dort wird die genaue Nummerierung der Buchstaben innerhalb des Alphabetes dargestellt. 87 Thijs Kramer nimmt an, dass deshalb auf dem von Vater und Sohn Krebs ihrem Lehrer Bach geschenkten Pokal die Buchstabensumme des Namens von Johann Ludwig Krebs im Krebs notiert ist (=281 statt 182). Siehe Kramer S. 53. 88 Siehe Kramer S. 33 ff. und seine kritische Beurteilung von Tatlow. 89 Das hebräische Zahlenalphabet kann in vorchristlicher Zeit nicht nachgewiesen werden. 70 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK schen Alphabet ist hier nicht von Belang. Schwieriger ist die Situation bezüglich der lateinischen Zahlenalphabete. Hier gibt es eine große Anzahl an verschiedensten Zählungen. Je nach Sprache und Entstehungszeit wurden die Alphabete den Bedürfnissen angepasst. Als Beispiel sei das Fehlen oder Zählen der Buchstaben I/J, K, U/V und W genannt. Zudem gibt es verschiedene Systeme, analoge zu den griechischen Thesis- oder milesischen Zählungen etwa, oder auch trigonale und weitere Systeme.90 Beispiele von Buchstaben- und Wortzahlen in der Musik gibt es schon im 14. Jahrhundert. Ein bekanntes Beispiel ist Guillaume de Machauts (~1300– 1377) Rondeau Dix et sept, cinq, trese, quatorse et quinse mit folgendem Text:91 Dix et sept, cinq, trese, quatorse et quinse M'a doucement de bien amer espris. Pris ha en moy une amoureuse emprise - Dis et sept, cinq, trese, quatorse et quinse - Pour sa bonté que chascuns loe et prise Et sa biauté qui sur toutes ont pris. Dis et sept, cinq, trese, quatorse et quinse M'a doucement de bien amer espris. Auf den ersten Blick ist nicht sichtbar, an wen sich das Liebesgedicht wendet. Ordnet man aber die Zahlen 17, 5, 13, 14 und 15 dem Alphabet zu, ergibt sich das folgende Wort: 17 5 13 14 15 Σ 64 R E N O P Das Wort RENOP ist ein Anagramm für Péron(ne) (d'Armentières), die Geliebte von Machaut.92 "Renop" und "Peronne" entsprechen einander aller- Es ist deshalb höchstwahrscheinlich eine Adaption des griechischen Systems. Beide Systeme siehe Appendix II Zahlenalphabete. 90 Siehe Appendix IV Ergänzende Texte und Bilder, Michael Stifel alphabetum trigonale aus "Wortrechnung" 1553. Zahlreiche verschiedenartige Beispiele bei Henning. 91 Siehe Chailley A, S. 137, Elders B, S. 9 und Herbert Anton Kellners Artikel Zum Zahlenalphabet bei Guillaume de Machaut, MuK 51 (1981), S. 29. 92 Grundlage ist die cabbala simplicissima, das Zahlenalphabet mit 23 (später auch 24) Buchstaben. Siehe Appendix II Zahlenalphabete. Machauts Liebe zu Péronne d'Armentières ist Gegenstand 71 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH dings nur ungenau, da in Renop zwei Buchstaben fehlen. Bisher in der Literatur nicht beschrieben wurde der Umstand, dass das Anagramm RENOP und der Name MACHAUT isopsephisch sind. M A C H A U T 12 1 3 8 1 20 19 Σ 64 Neben der Tatsache, dass es damals auch im Französischen keine verbindliche Orthographie gab, dürfte diese Isopsephie erklären, weshalb das Anagramm nicht ganz genau ist. Die Übereinstimmung der Zahlensumme beider Namen ist wohl als versteckter Hinweis auf die übereinstimmende Liebe von Péronne und Machaut zu verstehen. Nach meiner Kenntnis sind dies die frühesten bekannten gematrischen Beispiele in der Musik. Ein etwas komplizierteres Beispiel ist in der oben beschriebenen Motette nuper rosarum flores von Dufay enthalten. Der Text, den Triplum und Motetus singen, ist vermutlich von Dufay gedichtet, während der Text von Bassus und Tenor, terribilis est locus iste, biblischen Ursprungs ist (Jakobs Traum: 1. Mose 28,12).93 Die gesamte Motette zählt 1095 Töne, aufgeteilt in 968 Töne für Triplum und Motetus und 127 für Bassus und Tenor. Das Triplum singt gesamthaft 583 Töne und der Motetus 385 Töne. Die beiden Zahlen sind spiegelbildlich. 583 ist 11x53 und 385 11x35. Die beiden Faktoren 53 und 35 sind ebenfalls spiegelbildlich, ebenso der Faktor 11. 53 ist die Buchstabensumme von Dufay: D u f a y 4 20 6 1 22 Σ 5394 Die Zahl 35 dürfte als spiegelbildliche Buchstabensumme des Namens Dufay zu verstehen sein. Dass Dufay den Faktor 11 als Symbol der noch nicht möglichen Vollendung verstanden wissen wollte, oder, wie gleich im nächsten Abschnitt dargestellt, als Zahl des Sünders, ist denkbar. Die versteckte seines autobiographischen Liebesromans Le Veoir dict (1362–65), des ersten Liebesromans in französischer Sprache. 93 Die vollständigen Texte zu Dufays Komposition sind im Appendix IV Ergänzende Texte und Bilder zu finden. 94 Unter Verwendung der damals im Lateinischen üblichen cabbala simplicissima mit 23 Buchstaben (ohne W), d.h. Y=22. Siehe Michael Stifels Zahlenalphabet im Facsimile I.1. 72 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK Darstellung seines Namens ist wohl als persönliche Signierung zu betrachten. Diese Interpretation wird zusätzlich dadurch gestützt, dass die Zahl 127 der Anzahl der Töne von Bassus und Tenor, welche die biblischen Worte singen, eine Dedikation an Papst Eugen zu sein scheint. Eugenius PP ergibt:95 E u g e n i u s P P 5 20 7 5 13 9 20 18 15 15 Σ 127 Kees Vellekoop weist in seiner Arbeit über die Motette Parce Domine von Jacob Obrecht (1457/58–1505) ein Beispiel einer persönlichen gematrischen Signierung nach.96 Der Text der Motette hat 97 Silben. 97 ist die Zahlensumme des Namens Jacob Obrecht gemäß cabbala simplicissima: J a c o b O b r e c h t 9 1 3 14 2 14 2 17 5 3 8 19 Σ 97 Außerdem entspricht die Anzahl der 23 Tactus der Zahlensumme der Initialen von J.O. (J=9 und O=14). Erhärtet wird diese Interpretation durch die Zahlensumme sämtlicher Töne der Motette: 253=11x23. Die Motette ist nach Vellekoop ein persönliches Gebet des Sünders (symbolisiert in der Zahl 11) Obrecht (Initialensumme 23). Auch bei Heinrich Schütz (1585–1672) lässt sich ein gematrischer Hinweis und ein schöner Goldener Schnitt finden. Klaus Hortschansky hat 1988 die cantio sacra über Sicut Moses serpentem in deserto exaltavit SWV 68 auf ihre Zahlenstrukturen hin untersucht.97 Die Untersuchung ist nicht zuletzt auch deshalb besonders aufschlussreich, weil in ihr eine Diskrepanz sichtbar wird zwischen dem Erkennen von Zahlenstrukturen auf der Grundlage falschen 95 PP ist die gebräuchliche Abkürzung für Papa oder Papa Pontifex. Siehe z. B. die z. Z. neusten Briefmarken des Vatikan-Staates mit Franciscus PP. 96 Siehe Vellekoop, S. 97 ff. 97 Siehe Hortschansky, S. 331 ff. Der Text der Motette lautet: "Sicut Moses serpentem in deserto exaltavit, ita filium hominis oportet exaltari, ut omnis, qui credit in eum, non pereat, sed habeat vitam aeternam". [So wie Moses die Schlange in der Wüste erhöht hat, also muss des Menschen Sohn erhöht werden, damit jeder, der an ihn glaubt, nicht untergehe, sondern ewiges Leben habe.] Johannes 3,14–15. 73 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Notenmaterials und demjenigen auf Grund des Originaltextes. Ungenauigkeiten in der Analyse führen zwangsläufig zu fragwürdigen Deutungen. Notenbeispiel I.4. Heinrich Schütz, Continuostimme der Motette Sicut Moses serpentem in deserto exaltavit, aus Cantiones sacrae, Freiberg: Georg Hoffmann 1625. Hortschansky benützt als Grundlage die Ausgabe von Philipp Spitta, in welcher der Doppeltakt 27 der Originalausgabe in zwei Takte unterteilt ist. Spitta interpretiert diesen Doppeltakt offensichtlich als Druckfehler, allerdings fälschlicherweise, wie unten gezeigt werden soll. Hingegen belässt er den Takt 28 mit seiner überzähligen Semibrevis. In der Originalausgabe umfasst die Mottete 39 Takte, während Spitta auf 40 Takte kommt und Heide Volckmar-Waschk sogar auf 41.98 Die falsche Taktzählung stellt die Zählungsergebnisse in Hortschanskys Arbeit grundsätzlich in Frage. Auch seine Aufteilung der Motette in drei Teile ist fragwürdig und, wie sich zeigen wird, keineswegs 98 Die Originalausgabe bei Georg Hoffmann 1625 enthält nur in der Basso continuo-Stimme eine Taktzählung, die jedoch fehlerfrei sein dürfte. Es bleibt völlig unverständlich, dass Heide Volckmar-Waschk in ihrer Neuausgabe bei Bärenreiter diese Taktzählung nicht berücksichtigt, sondern korrigieren zu müssen glaubt. Sie unterteilt den um eine Semibrevis überlangen Takt 28 nach zwei Semibreves und die folgenden Takte jeweils in der Mitte der Takte neu und erhält so bis zum Schluss neue Taktschwerpunkte. Ihre Taktzählung der Motette ergibt so 41 Takte, gegenüber 39 Takten im Original. 74 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK zwingend. Seine postulierten Einschnitte zu Beginn der Takte 15 und 33 (nach Spitta) sind zwar zweifellos Kadenzen, deren Abschlüsse sind jedoch verwoben mit dem Beginn des jeweils nachfolgenden neuen Textes. Diese Einschnitte erfolgen auch nicht am Taktende, wie Hortschansky behauptet, sondern jeweils nach dem ersten Schlag des Folgetaktes. Der einzige wirklich deutliche Einschnitt ist am Ende von Takt 24. Auf den ersten Schlag des Folgetaktes und damit Hauptschwerpunkt dieses Taktes haben alle Singstimmen eine Pause.99 Deutlicher könnte der Einschnitt nicht markiert werden. Deshalb ist von einer Zweiteilung der Motette auszugehen. Um meine Analyse derjenigen von Hortschansky gegenüber zu stellen, wird nachfolgend die in seiner Arbeit aufgeführte Tabelle zusammen mit meinen Korrekturen dargestellt: Johannes 3, 14–15 Teile und Abschnitte Tonstufen Taktanzahl Hortschansky Taktanzahl Pachlatko Sicut Moses A I C → C 14 14,25 serpentem in deserto exaltavit B ita filium hominis C Teil I → 24 II → G 10 9,75 oportet exaltari D ut omnis qui credit in eum E 7,25 non pereat F IIIa → A 16 Teil II → 15 sed habeat G IIIb → C (8+8) 7,75 vitam aeternam H Tabelle I.1. Teile und Abschnitte der Motette Sicut Moses serpentem in deserto exaltavit von Heinrich Schütz. 99 Der Basso continuo hat als einzige Stimme keine Pause. 75 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Es ist ersichtlich, wie oben schon erwähnt, dass Teil I nicht am Ende von Takt 14 endet, sondern nach dem ersten Schlag von Takt 15. Teil II beginnt demnach mit Schlag 2 von Takt 15 und endet mit dem Schluss von Takt 24. Teil IIIa beginnt mit Takt 25 und endet nach dem ersten Schlag von Takt 32. Teil IIIb beginnt mit Schlag 2 von Takt 32 und endet mit dem letzten Schlag von Takt 39.100 Die Schlusslonga wird durchgezählt und umfasst mit vier Semibreves 8 Schläge. Durch die Gliederung in nicht ganze Takte wird deutlich, dass nicht in Takten gezählt werden soll, sondern in Schlägen. Somit besteht gemäß der Einteilung von Hortschansky der erste Teil aus 57 Schlägen, der zweite Teil aus 39 Schlägen und der dritte Teil aus 72 Schlägen. Analysiert man nun den Bibelvers auf seine Subjekte hin, wird ersichtlich, dass in Teil I und II von den biblischen Gestalten Moses und Jesus die Rede ist und in den Teilen III (IIIa und IIIb) vom Menschen, sofern er glaubt. Moses und Jesus sind die Träger der Verheißung. Der gläubige Mensch ist Empfänger der Verheißung. Der Text ist also klar zweiteilig und nicht dreiteilig. Dieser Zweiteilung folgt, wie oben gezeigt, auch die Motette: Teil I endet am Schluss von Takt 24 und der Teil II beginnt mit Takt 25. Daraus ergeben sich für Teil I 96 Schläge und für Teil II 72 Schläge, gesamthaft also für die ganze Motette 168 Schläge. Die Zahl 168 ist die Zahlensumme des Namens Heinrich Schütz.101 Heinrich und Schütz haben die Zahlensummen 72 und 96: H e i n r i c h S c h u e t z 8 5 9 13 17 9 3 8 = 72 18 3 8 20 5 19 23 = 96 Σ 168102 Schütz hat also in diese Motette seinen Namen eingewoben. Mit dem Wort eingewoben soll zum Ausdruck gebracht werden, dass hier mehr als nur eine Signierung vorliegen dürfte. Denkbar scheint mir, darin die Andeutung einer Identifikation mit dem Text zu sehen, indem sich Schütz direkt von der Verheißung dieses Textes angesprochen fühlt. Er komponiert und singt ja diesen Text. 100 Die Zählung erfolgt hier nach der Originalausgabe. 101 Schütz hat autograph stets mit dem Vornamen Henrich und nicht mit Heinrich unterschrieben, wie Joshua Rifkin belegt. Siehe Rifkin, S. 5–21, hier S. 5. Auf dem Widmungsblatt der Cantiones sacrae signiert Schütz jedoch mit Heinricus Sagittarius und auf dem Titelblatt der biblischen Exequien 1636 mit Heinrich Schütz. Siehe Bilder im Appendix IV Ergänzende Texte und Bilder. 102 Schütz verwendet hier die cabbala simplicissima mit 23 Buchstaben. 76 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK Als weiteres Detail ist noch zu beachten, dass die Motette am Ende von Takt 24 annähernd im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt wird. Der Teil I mit seinen 24 Takten verhält sich zur ganzen Motette mit ihren 39 Takten wie 24:39 oder 8:13= 0.6153 und die Teile II zu I wie 15:24 oder 5:8 = 0.625. Diese Teilung ist bezüglich der Zähleinheiten sehr genau. Wie oben schon gezeigt, sind die Zahlen 13, 8 und 5 Bestandteile der Fibonacci-Folge, deren Verhältnis zueinander sich in ihrer Abfolge dem des Goldenen Schnittes annähern. Es ist sehr wahrscheinlich, dass die Überlängen der Takte 27 und 28 aus Gründen der Inkompatibilität der beiden Rechnungen bezüglich Schläge und Takte gesetzt sind. Nur so waren beide Parameter erfüllbar. Freilich sind Überlängen von Takten in dieser Zeit nichts Außergewöhnliches. Auch in der oben besprochenen Toccata quinta von Frescobaldi haben die Takte 36 und 71 Überlänge. Das gleiche Phänomen ist auch noch hundert Jahre später in den Chorälen des O=B anzutreffen, z. B. in BWV 624. Dass sowohl Strukturzahlen wie gematrisch gewonnene Zahlen auch bei Heinrich Schütz nachgewiesen werden können, ist angesichts der Tradition, in der Schütz stand, wenig erstaunlich.103 Die Kenntnisse darüber waren europaweit verbreitet, und deren Anwendung kannte keine konfessionellen Grenzen. So dürfte Schütz wohl schon vor seiner Zeit in Italien, spätestens aber dann, mit den Fragen der Zahlensymbolik in Berührung gekommen sein. Bei der weiter unten bedachten Frage, wie Bach mit diesem Themenkreis in Berührung gekommen sein könnte, werden Überlieferungsstränge im deutschsprachigen Kulturraum aufgezeigt, die ebenso für Schütz Gültigkeit haben. Offen ist noch die Frage, wie es um die Zahldeutungen in Hortschanskys Arbeit steht. Sie sind meines Erachtens zum Teil fast so abenteuerlich wie die oben dargestellten Zahldeutungen von Augustin. Davon ausgehend muss man mit Blick auf die diesbezüglichen Gepflogenheiten im Mittelalter und der Renaissance jedoch konstatieren, dass solche Abenteuerlichkeiten vorkommen. Es ist aber Aufgabe gerade der Wissenschaft, hier Klarheit zu schaffen, was oftmals nur möglich ist, wenn Erkenntnisse aus anderen Arbeiten herangezogen werden. Maßstab der Orientierung bei Interpretationsversuchen sollte jedoch stets die Sorgfalt des Komponisten selber sein. Dies be- 103 Es wird hier zum ersten Mal der Nachweis erbracht, dass Schütz sich der Gematrie bedient hat. Schütz’ Interesse an Zahlen ist schon länger bekannt. Den Nachweis von Zahlensymbolen in Werken von Schütz erbrachte Kurt von Fischer in seiner Darstellung der Matthäus-Passion. Siehe von Fischer, S. 140. 77 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH trifft nicht nur die Technik der Kompositionen, sondern auch deren genaue Notation und Darstellung. Als Beispiel aus der Zeit unmittelbar vor Bachs Schaffensbeginn soll hier zum Schluss die Passacaglia d-Moll von Dieterich Buxtehude kurz dargestellt werden. Diese Passacaglia fällt gegenüber anderen Gerüstbassvariationen aus der Epoche durch ihre klare Formgebung auf.104 Piet Kee ist dieser Tatsache in einem Aufsatz nachgegangen.105 Die Passacaglia weist eine vierteilige Form auf, gebildet aus vier Variationsblöcken von je 29 oder 30 Takten in den Tonarten d, F, a und d und drei diese vier Blöcke verbindenden, modulierenden Zwischenspielen von, je nach Zählweise, unterschiedlicher Länge. Das Bassthema hat in den ersten drei Variationen jedes Blocks in vier Takten sieben Noten und in der vierten, mit jeweils fünf Takten, acht. Notenbeispiel I.5. Dieterich Buxtehude, Passacaglia d-Moll BuxWV 161, Thema. Das Werk mit seinen insgesamt 123 Takten ist gegliedert, wie dies aus der nachfolgenden Tabelle ersichtlich wird. Tabelle I.2. Dieterich Buxtehude, Passacaglia d-Moll BuxWV 161, Formteile. 104 Gerüstbassvariationen, wie Passacaglia und Ciacona, implizieren keine bestimmte Form. Sie sind zumeist eine lockere Aneinanderreihung von Variationen. Ihre Herkunft aus der Straßenmusik (span. pasar (una) calle = einer Straße entlanggehen, oder soviel wie "Gassenhauer") weist darauf hin. Prinzipiell gilt dies auch noch für die Passacaglien und Ciaconen von Frescobaldi, Pachelbel, Buxtehude und Bach, auch wenn hier, z. B. bei Buxtehude und Bach, ordnende Elemente, wie etwa Dreieckszahlen, auftreten. 105 Kee A, S. 232–241. Fast zeitgleich erschien der Aufsatz von Karl Wurm zu diesem Thema. Siehe Wurm, S.263. Bernd Sponheuer erwähnt in seinem Aufsatz Phantastik und Kalkül, S. 289–309, die Arbeit von Piet Kee nicht. 78 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK Jeder Block beginnt auftaktig und umfasst insgesamt sieben Variationen, wobei das Bassthema der jeweils letzten Variation um einen Takt verlängert ist und schwertaktig auf der Tonika endet. Deshalb haben die Blöcke nicht je 28 Takte, wie Kee fälschlich rechnet, sondern 29 oder 30 Takte. Der letzte Takt der Passacaglia kompensiert den Auftakt zu Beginn des Stückes nicht, sondern hat volle Länge. Das Stück hat demzufolge insgesamt 123 Takte. Das Andreas-Bach-Buch, die einzige Quelle dieses Werkes, schreibt zu Beginn unüblicherweise an Stelle eines bloßen Auftaktes einen vollen Takt mit zwei leeren Schlägen 1 und 2 und einem Auftakt bei Schlag 3. Unabhängig von der Frage, ob diese Schreibweise richtig ist, umfasst das Stück 367 gespielte Schläge plus einen zusätzlichen Schlag für die Ausführung der Schlussfermate, insgesamt also 368 Schläge. Die Frage, ob das Andreas-Bach-Buch bezüglich des ersten und letzten Taktes die originale Schreibweise wiedergibt, ist zunächst nicht beantwortbar. Meine Interpretation weiter unten stärkt die Annahme, dass beide Takte – das heißt der vollständige erste sowie der letzte mit Fermate – genau der Intention von Buxtehude entsprechen. Die Darstellung der arithmetischen Analyse der geschriebenen Musik ist vergleichsweise einfach, indem eine ganzzahlige Gliederung in je zwei und zwei gleiche Teile (oben Blöcke genannt) mit drei unterschiedlichen Verbindungsteilen gegeben ist. Nämlich: 1. Teil: 30 Takte mit 90 Schlägen 2. Teil: 29 Takte mit 87 Schlägen Teile 1–4: 3. Teil: 29 Takte mit 87 Schlägen Σ 118 Takte mit 354 Schlägen 4. Teil: 30 Takte mit 90 Schlägen 1. Zwischenspiel: 12/3 Takte mit 5 Schlägen 2. Zwischenspiel: 2 Takte mit 6 Schlägen Zwischenspiele 1–3: 3. Zwischenspiel: 11/3 Takte mit 4 Schlägen Σ 5 Takte mit 15 Schlägen Σtot 123 Takte mit 369 Schlägen Zählt man unter Weglassung der beiden leeren Schläge des ersten Taktes nur die klingenden Schläge, dazu ist auch ein Schlag für die Fermate am Schluss des Stückes zu zählen, so ergeben sich gesamthaft 368 Schläge. Die Passacaglia hat insgesamt 28 Variationen, in jedem der 4 Teile je 7 Variationen über je 7 Bassnoten. Mit der zusätzlichen Tonikanote am Ende der jeweils 7. Variation ergeben sich pro Teil 50 Bassnoten. Die ganze Passacaglia hat demnach 200 Bassnoten. Ob die gesamte Notenzahl des Stücks von 1945 79 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Noten eine Rolle spielt, wird weiter unten geprüft.106 Diese Zahl ist grundsätzlich nicht und bei der vorliegenden Quellenlage erst recht nicht verifi zierbar. Ihre Möglichkeit ist aber hypothetisch denkbar. Von den genannten Zahlen hat aus mathematischer Sicht die Zahl 28 eine besondere Bedeutung, indem sie der 2. numerus perfectus ist.107 Die Deutungsebene trägt im Gegensatz zur arithmetischen Ebene zwangsläufig spekulative Züge. Allerdings sollen hier nicht mögliche Symbolgehalte der Zahlen gedeutet, sondern deren astronomische Bedeutungen aufgezeigt werden. Kee hat als erster diesen Deutungsweg beschritten, indem er die Passacaglia astronomisch als Darstellung der Mondmonate und der Mondzyklen zu deuten versuchte. Dieser Ansatz ist nicht aus der Luft gegriffen. Buxtehude scheint sich tatsächlich mit kosmologischen Fragen beschäftigt und dabei den Versuch gemacht zu haben, die daraus gewonnenen Erkenntnisse in eine musikalische Sprache umzusetzen. Dies zeigen die sieben leider nicht erhaltenen Cembalo-Suiten BuxWV 251 "in denen die Natur und Eigenschaft der (7) Planeten artig abgebildet sind".108 Mit den beiden Worten "Natur und Eigenschaft" dürfte das Spektrum angedeutet sein, in dem sich Buxtehudes Darstellungsversuch bewegt, nämlich der astronomischen Erkenntnisse auf der einen Seite und deren metaphysischen Deutung auf der anderen. Der zentrale Punkt für eine mögliche Deutung der Passacaglia als "Mondstück" ist die Frage nach der Übereinstimmung der Gliederungszahlen der Passacaglia mit den Zahlen des Mondumlaufs. Hier macht Kee meines Erachtens einen entscheidenden Rechenfehler. Er stellt richtigerweise fest, dass es in der Berechnung des Mondumlaufs um die Erde zwei verschiedene Methoden gibt, nämlich die siderische Periode mit 27 Tagen, 7 Stunden und 43 Minuten und die synodische Periode mit 29 Tagen, 12 Stunden und 44 Minuten, wählt dann aber, weil er dies im Stück zu sehen glaubt, als ungefähres arithmetisches Mittel zwischen beiden Perioden eine leider fal- 106 Siehe Fußnote 114. 107 Siehe Kee, S. 235 f. 108 Siehe Mattheson, S. 130. Die Theorie der 7 Planeten beruht auf dem geozentrischen Weltbild mit den die Erde umkreisenden Planeten Mond, Merkur, Venus, Sonne, Mars, Jupiter und Saturn. Dass Buxtehude deswegen noch dem geozentrischen Weltbild anhing, ist damit freilich nicht erwiesen. Die Stellung der Gestirne in Bezug auf die Erde wurde auch in der berühmten Astronomischen Uhr der Lübecker Marienkirche, erbaut 1561–66, gezeigt. Inwieweit sie Buxtehude inspirierte, ist nicht bekannt. 80 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK sche fiktive Umlaufszeit von 28 Tagen.109 Tatsächlich hat die Passacaglia 28 Variationen. Diese Zahl kann jedoch nur als numerus perfectus, nicht aber als astronomische Zahl gedeutet werden, weil sie zu keiner Zeit für die Berechnung des Mondkalenders verwendet wurde. Schon die alten Babylonier verwendeten für ihre Kalenderrechnung die synodische Periode. Weil der synodische Mondmonat 29 1/2 Tage dauert, zählten sie, wie dies noch heute beim islamischen Kalender der Fall ist, abwechselnd Monate mit 29 und 30 Tagen und fügten nach Bedarf, um den Fehler der zusätzlich täglichen 44 Minuten und 2,9 Sekunden zu kompensieren, Schalttage ein.110 Dennoch bin ich mit Kee der Meinung, dass die Passacaglia Mondmonate und ein vollständiges Mondjahr darstellt. Dies allerdings sehr viel genauer, als Kee gesehen hat. Schon die arithmetische Analyse der Passacaglia hat gezeigt, dass die vier Variationsblöcke je mindestens 29 Takte haben und nicht 28. Es fällt allerdings auf, dass Block 1 infolge des durchgezählten ersten Taktes 30 Takte lang ist. Auch der vierte Block umfasst 30 Takte, wobei die beiden ersten Schläge seines ersten Taktes nicht leer, wie im ersten Takt des ersten Blocks, sondern durch ein verbindendes Zwischenspiel gefüllt sind. Dennoch ist dieser angebrochene Takt als voller Takt zu zählen, analog dem ersten Takt des ersten Blocks. Somit haben die dargestellten Blöcke folgende Größe: Block 1: 30 Takte Block 2: 29 Takte Block 3: 29 Takte Block 4: 30 Takte Diese Taktzählung wird zusätzlich gestützt durch den thematischen Charakter der Zwischenspiele. Das erste Zwischenspiel von Takt 30–32 verwendet bis zum Ende des Taktes 30 noch thematisches Material der letzten Variation, um dann mit Beginn des Taktes 31 völlig unthematisch weiter zu führen. 109 Siehe Kee, S. 235: "Der Mondmonat hat 28 Tage (dies ist die übliche Abrundung)". Diese Aussage ist falsch. 110 Ossendrijver, Kapitel 4, Moon, S. 111–202. 81 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Notenbeispiel I.6. Dieterich Buxtehude, Passacaglia d-Moll, T. 30–32. Thematisch wird also der Takt 30 über das Ende des Basstones hinaus zu Ende geführt. Das zweite Zwischenspiel beginnt in Takt 61 nach einer Achtelpause mit einer neuen fünften Stimme mit neuem musikalischem Material, das auf den kommenden Variationenblock verweist: Notenbeispiel I.7. Dieterich Buxtehude, Passacaglia d-Moll, T. 59–62. Block 2 schließt also am Ende des zweiten Schlages im Takt 61 und umfasst somit die Takte 32,3–61,2. Dies sind 29 Takte. Das dritte Zwischenspiel beginnt in Takt 92 auf Schlag 2 nach einer Viertelpause in allen Manualstimmen mit freiem thematischem Material, das weder auf den vorhergehenden noch auf den folgenden Variationenblock verweist. Block 3 schließt am Ende des zweiten Schlages im Takt 92 und umfasst die Takte 63,3–92,2. Auch dies sind 29 Takte. 82 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK Notenbeispiel I.8. Dieterich Buxtehude, Passacaglia d-Moll, T. 91–94. Während die Zwischenspiele 2 und 3 jeweils vor Beginn des nächsten Blocks abschließen, überlappt der Anfang von Block 4 mit dem Schlussakkord des dritten Zwischenspiels. Dieses Zwischenspiel schließt harmonisch völlig autonom, das heißt mit einem eigenen Basston d. Der Pedalton d des gleichzeitig einsetzenden Blocks 4 bildet somit nicht den Bass des Zwischenspieles. Dies zeigt sich darin, dass der Schlussakkord des Zwischenspiels in den beiden tiefen Stimmen mit d endet. Während der Tenor von cis zwingend nach d gehen muss, könnte der Bass auf a bleiben, wenn das einsetzende Pedal d den Bass bilden würde. Dies ist aber nicht der Fall. Somit endet dieser Schlussakkord ohne Quinte a. Dies zeigt, dass der Schlussakkord des Zwischenspiels nichts mit dem Beginn des Blocks 4 zu tun hat. Insgesamt sind also in der Passacaglia zwei Blöcke mit 29 Takten und zwei mit 30 Takten feststellbar. Dass sie sich nicht schön abwechseln, wie dies in einem Lunarkalender üblich ist, könnte irritieren. Es war aber schon in der Antike bekannt, dass zur Angleichung des Lunarkalenders an den Lunisolarkalender periodisch ein Monat mit 29 oder 30 Tagen zugefügt werden musste.111 So folgten sich in den Schaltjahren zwangsläufig einmal zwei Monate mit je 29 oder 30 Tagen. Die Darstellung von vier einzelnen Lunarmonaten in der Passacaglia genügt aber meines Erachtens noch nicht als gesicherter Hinweis auf eine Beziehung zum Mondkalender. Zählt man nun aber insgesamt nicht die einzelnen Takte der vier dargestellten Lunarmonate, sondern die Anzahl ihrer Schläge, wird der Bezug deutlich. Die Gesamtzahl der Schläge in den 118 Takten ist 354, 118x3=354. Dies ist die Zahl eines vollständigen Lunarjah→ res mit 6 Monaten von 29 Tagen und 6 Monaten von 30 Tagen. Noch heute dauert ein Jahr im islamischen Kalender 354 Tage. Deshalb verschiebt sich der Ramadan jährlich gegenüber dem Sonnenjahr um 11 Tage. Es kann daher 111 Vgl. den sog. Meton-Zyklus (um 437 v. Chr.). Siehe Zemanek, S. 49. 83 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH kaum ein Zweifel sein, dass Buxtehude in seiner Passacaglia einen Lunarkalender mit Jahr und Monaten dargestellt hat und dies sehr viel genauer, als Kee zu sehen glaubte.112 Bei den angeführten Zahlen handelt es sich um überprüfbare astronomische Zahlen.113 Dies entspricht, wie Mattheson schreibt, einer Darstellung der Natur und Eigenschaft des Mondes. Darüber hinaus gibt es in der Passacaglia möglicherweise noch eine gematrische Darstellung. Weiter oben wurde darauf hingewiesen, dass die Passacaglia insgesamt 368 gespielte Schläge aufweist. Ob Buxtehude daran gedacht hat, dass diese Zahl zweimal die Buchstabensumme seines Namens enthält, sei dahingestellt.114 Das Beispiel von Buxtehudes Passacaglia dürfte zeigen, wie stark noch am Ende des 17. Jahrhunderts die Ansicht verbreitet war, dass die Musik als Teil des Quadriviums ein Element der Mathematik sei. In diesem Werk gehen Musik, Arithmetik und Astronomie eine innige Verbindung ein und zeigen, wo Buxtehude im Denken beheimatet war. Das pythagoreische Denken bezüglich der Musik hatte weitere namhafte Vertreter bis in die Mitte des 18. Jahrhunderts. Zu nennen wären hier im deutschen Sprachraum, besonders auch im Hinblick auf Bach, Andreas Werckmeister (1645–1706) und Lorenz Christoph Mizler (1711–1778). Die oben gezeigten Zahldarstellungen in Musikwerken der Renaissance und des Früh- und Hochbarock zeigen nicht nur die Vielfalt der Funktion und Bedeutung von Zahlen, sondern auch die Vielschichtigkeit, in denen sie zur Darstellung kommen. In den meisten Fällen wird dabei deutlich, dass die 112 Auf Kees Darstellung der Mondphasen möchte ich hier nicht eingehen. Sie ist subjektiv gefärbt und für mich schwer nachvollziehbar. 113 Wie schon in Fußnote 108 erwähnt, besaß die Marienkirche in Lübeck, in der Buxtehude Organist war, eine berühmte astronomische Uhr. Hier waren Theorie und Praxis der astronomischen Zahlen direkt überprüfbar. 114 Wie oben erwähnt, könnte auch die Gesamtzahl der 1945 Töne der Passacaglia bedeutsam sein, obwohl sie im Stück auf Grund der etwas unsicheren Quellenlage nicht genau verifizierbar ist. Sie ist die Buchstabensumme von "Dieterich Buxtehude, Buxtehude", also 184(0) + 105. Die Zahl ist also die Summe von Name und ursprünglicher Herkunft. Diese Deutung halte ich allerdings für zu unsicher, um die Annahme bestärken zu können, dass Buxtehude in der Anzahl der Schläge der Passacaglia mit seinem Namen signiert haben könnte. 84 D i e t e r i c h B u x t e h u d e 4 9 5 19 5 17 9 3 8 = 79 2 20 22 19 5 8 20 4 5 = 105 Σ= 184 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK Zahlen als Bedeutungsträger nicht offensichtlich sind, sondern in ihrer Verborgenheit nur dem wissend Suchenden offenbar werden. Dabei können sie Träger einer Botschaft sein oder auch nur einer 'höheren' Harmonie dienen. Die vorangehenden Beispiele zeugen von einem Wissen, das die Grundlage für die folgenden Untersuchungen am Orgel=Büchlein Bachs bildet. Die Selbstverständlichkeit des Vorhandenseins und der Anwendung dieses Wissens im Bereich der Musik bis etwa in die Zeit der Aufklärung wird in Musikologenkreisen immer wieder angezweifelt. Besonders hervorgetan in der Ablehnung hierin hat sich Ruth Tatlow mit ihrer Arbeit The Use and Abuse of Fibonacci Numbers and the Golden Section in Musicology Today .115 Darin bestreitet sie nicht nur, dass in den formalen Strukturen der Musik vor 1600 Goldene Schnitte oder Fibonacci-Folgen vorkommen, sondern auch, dass das arithmetische Wissen darüber überhaupt vorhanden war. Sie versucht, darzulegen, dass erst Kepler und sein Lehrer Mästlin das Phänomen Goldener Schnitt arithmetisch darstellen konnten und somit eine Zahlanwendung zur Teilung einer musikalischen Struktur im Verhältnis des Goldenen Schnittes vorher gar nicht möglich war.116 Dies erläutert sie an Hand der oben erwähnten Arbeit von Atlas über die Motette Resvellies vous von Dufay. Ihr Argument ist also, wenn Dufay die arithmetische Formel für die Teilung im Verhältnis des Goldenen Schnittes nicht kannte, konnte er eine solche Teilung auch gar nicht vornehmen. Ihre Ablehnung gipfelt in der Frage, wozu Musiker dies denn auch hätten tun sollen. Tatlow ist der Meinung, dass allenfalls nachweisbare Goldene Schnitte entweder Zufälle oder vom suchenden Musikologen hineingedacht sind. In ihrem Feldzug gegen den Nachweis von Fibonacci-Zahlen und Goldenen Schnitten in Musikwerken vor 1600 vermengt sie außerdem immer wieder diese beiden in ihrem Wesen völlig verschiedenen mathematischen Phänomene. Tatlows Arbeit gibt sich wissenschaftlich, ist aber in hohem Maße ungenau und unsorgfältig. 115 in: Understanding Bach, 1, 69–85. Bach Network UK 2006. 116 Tatlow verweist immerhin auch auf Jacob, der als erster in seinem posthum 1594 erschienenen Rechenbuch beschreibt, wie die Fibonacci-Zahlen aufsteigend sich in ihrem Verhältnis zueinander dem Goldenen Schnitt annähern. Jacob wird nicht zu den großen Mathematikern gezählt und dürfte wohl kaum Entdecker dieses von ihm erstmals beschriebenen Phänomens sein. 85 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Zunächst ist festzuhalten, dass das Nichtwissen von jemandem, der nicht mehr lebt, in den allermeisten Fällen weder quantifizierbar noch nachweisbar ist. Das Nichtvorhandensein von etwas kann zahlreiche Gründe haben, die wissenschaftlich nicht oder nur schwer belegbar sind. Bei einer Argumentationsweise auf dieser Ebene ist deshalb äußerste Vorsicht geboten. Wie schon weiter oben dargestellt, bestand bis in die Zeit nach dem Humanismus das universitäre Grundstudium aus dem Studium der septem artes liberales, dem Trivium mit Grammatik, Rhetorik und Dialektik und dem Quadrivium mit den mathematischen Fächern Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik. Musik war also ein mathematisches Fach. Ein universitär ausgebildeter Musiker, mit Abschluss war er magister artium, verfügte auch in den anderen mathematischen Fächern über das Wissen seiner Zeit. Es gab also nicht nur eine Verbindung von Musik und Mathematitk, sondern die Musik war Teil der Mathematik. Damit allein schon wird die Frage, weshalb Musiker in der Musik hätten arithmetische Strukturen anwenden sollen, obsolet. Tatlow glaubt, belegen zu können, dass die arithmetische Darstellung der sectio aurea (s.a. oder Goldener Schnitt) in den Schriften von Euclid und Boethius nicht vorkommt. Sie schließt daraus, dass diese somit den mittelalterlichen Autoren auch nicht bekannt gewesen sein könne. Neben der Tatsache, dass ein solcher Schluss grundsätzlich nicht zulässig ist, weil immer die Möglichkeit besteht, dass nicht alle Überlieferungsstränge bekannt sind, ist Tatlows Aussage auch falsch. Am Schluss ihrer Arbeit fasst sie ihre Thesen folgendermaßen zusammen: – ~ 300 v. Ch. Euclid verwendet keine Zahlen, um den Goldenen Schnitt zu beschreiben. – ~ 100 n. Ch. Nikomachos beschreibt in seiner 10. "Rechnung" nicht die Fibonacci-Folge. – ~ 500 n. Ch. Boethius beschreibt nicht die Fibonacci-Folge. – 1202 Leonardo da Pisa wird von Tatlow hier nicht erwähnt. – 1500 n. Ch. Pacioli kennt keine arithmetische Darstellung des Goldenen Schnittes. Nachfolgend sollen diese Thesen in den wesentlichsten Teilen widerlegt werden. 86 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK Bei Euclid ist die algebraische Formel der s.a. verbal dargestellt: Facsimile I.4. Darstellung des Goldenen Schnittes. In: Euclidis opera, Liber sextus, Erhard Ratdolt Venedig 1482, S. 89 und in: Die sechs ersten Bücher Euclidis, deutsch von Sebastianus Curtius Amsterdam 1618, S. 145. Algebraisch ausgedrückt bedeutet dies: (a+b) : b = b : a, oder anders geschrieben: a : b = b : (a+b) Die nachfolgende arithmetische Rechnung mit dieser algebraischen Formel ist zwar in Euclids Werken nicht nachweisbar, aber eine praktische Konsequenz, die schon für Euclid selbstverständlich gewesen sein dürfte.117 Das Ergebnis dieser Rechnung ist spätestens im liber abaci 1202/1226 von Leonardo da Pisa zu finden. Wird für die Strecke a + b eine Einheit von 10 angenommen,118 lässt sich direkt eine arithmetische Formel ableiten und somit a und b berechnen: a + b = 10 a = 10 ‒ b→ In Anwendung der oben genannten algebraischen Formel gilt deshalb: (10‒b) : b = b : 10 → 100 = b→ 2 + 10b 117 Generell stellt Euclid die Probleme und ihre Lösungen algebraisch dar. Dies ist auch später in der Mathematik üblich. Bei Euclid dürfte aber auch die platonische Ansicht vorherrschen, sich nicht mit dem Vordergründigen, Sichtbaren, z. B. den Zahlen, zu beschäftigen, sondern mit dem dahinter Liegenden und darüber Stehenden, dem eigentlichen mathematischen Problem also. Dies schließt aber eine praktische Anwendung einer algebraischen Formel mit Zahlen nicht aus. 118 So rechnen Leonardo da Pisa und Luca Pacioli. 87 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH addiert man auf beiden Seiten 25, ergibt sich: → 125 = b→ 2 + 10b + 25 zieht man die Wurzel √→ → √125 = √(b→ 2+10b+25) √125 = b + 5 → b = √125 ‒ 5 (dann ist: a = 15 ‒ √125)→ → b = 11.180339887 ‒ 5 → b = 6.180339887→ Wird für a + b = 1 gesetzt, ergibt sich folgende Rechnung: a = 1 ‒ b→ Dann gilt für die algebraische Formel der s. a.: (1‒b) : b = b : 1 → 1 = b→ 2 + b multipliziert man beide Seiten mit 4, ergibt sich: → 4 = 4b→ 2 + 4b addiert man auf beiden Seiten 1, ergibt sich:→ 5 = 4b→ 2 + 4b + 1 zieht man die Wurzel √→ → √5 = √(4b→ 2+4b+1) √5 = 2b + 1, oder auch: b = (√5‒1) : 2 → b = 0.6180339887→ Nikomachos stellt in seinem zweiten Buch der a©riqmetikh\ ei¹sagwg ή (introductio arithmetica) im 28. Kapitel unter Punkt 10 eine algebraische Formel dar, die auch für die Fibonacci-Folge gilt und nennt als Beispiel die drei Zahlen g, e und h = 3, 5 und 8:119 Facsimile I.5. Nikomachos von Gerasa, a¹riqmetikh\ ei¹sagwg ή (introductio arithmetica), Hrsg. Richard Hoche, Leipzig 1866, S. 144. 119 Siehe griechisches Zahlenalphabet im Kapitel Appendices II. 88 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK Zu Deutsch heißt dies:120 Die unter allen (Rechnungen / Analogien) (a¹nalogi¿ai / meso¿thtej) insgesamt zehnte, die vierte aber in der Darstellung der jüngeren (Autoren) zeigt sich, wenn sich bei drei Zahlbegriffen (oÀroi») der mittlere so zum kleinsten verhält wie die Differenz der beiden äußeren zur Differenz der beiden größeren, wie etwa 3, 5, 8. Algebraisch lautet die Formel, wenn a > b > c: b : c = (a-c) : (a-b) → = ab ‒ b2 = ac ‒ c2 ab → ‒ ac = b2 ‒ c2 a(b→ ‒c) = b2 ‒ c2 = (b‒c) (b+c) a = b + c→ Diese algebraische Formel ist banal und trifft auf alle Additionen natürlicher Zahlen zu, wenn zwei der drei Unbekannten gegeben sind. So gilt sie selbstverständlich auch für Segmente dreier aufeinander folgender Zahlen der Fibonacci-Folge. Indem Nikomachos drei Zahlen der Fibonacci-Folge nennt, ist der weitere Verlauf der Folge gegeben. Die Formel stellt zusammen mit den genannten Zahlen die Folge somit nicht explizit, aber doch implizit dar. Die Fibonacci-Folge dürfte indes bereits früher bekannt gewesen sein. Ausführliche stichometrische Untersuchungen von Friedrich Gustav Lang, vorab an den Schriften des Neuen Testamentes, aber auch an einem Cicero- Brief, zeigen, dass schon in jener Zeit sowohl Goldene Schnitte als auch Fibonacci-Zahlen als Maß für Gliederungszwecke verwendet wurden.121 Wenn allenfalls über die Wahrscheinlichkeit der arithmetischen Anwendung von Euclids algebraischer Formel gestritten werden kann, so ist Tatlows Behauptung, dass sowohl im liber abaci 1202/1226 von Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci, als auch in der divina proportione von Luca Pacioli 1509 keine arithmetischen Darstellungen der s.a. vorkommen würden, falsch. 120 Gedankt sei an dieser Stelle der Basler Gräzistin Magdalene Stoevesandt für ihre Übersetzung und die Hilfe bei weiteren Nachforschungen. 121 F.G. Lang, Schreiben nach Maß. Zur Stichometrie in der antiken Literatur. Novum Testamentum 41, 1999, 40–57. Siehe auch www.stichometrie.de 89 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Facsimile I.6. Leonardo da Pisa (Fibonacci), Liber abaci, Hrsg. Baldassarre Boncompagni, Rom 1857, S. 438. Facsimile I.7. Luca Pacioli, Divina proportione, Venedig 1509, 1. Buch, Kapitel 8, S. 5, und Neuausgabe mit deutscher Übersetzung von Constantin Winterberg, Wien 1889, S. 47 und 199. Hier wird erstmals die Teilung im Verhältnis des Goldenen Schnittes explizit arithmetisch dargestellt: Die größere Strecke misst b = √125 ‒ 5 und die kleinere a = 15 ‒ √125. Ein Verfahren zum Ziehen der Quadratwurzel ist im westlichen Kulturkreis erstmals bei Heron nachweisbar.122 Es handelt sich um das sog. babylonische Wurzelziehen, was besagt, dass das Verfahren schon den Babyloniern bekannt war.123 Schon Leonardo da Pisa konnte somit die Teilung im Verhältnis des Goldenen Schnittes arithmetisch genau berechnen. Luca Pacioli beschäftigt sich mit der arithmetischen Teilung der s.a. und ihren Konsequenzen in mehreren Kapiteln des 1. Buches. Es kann deshalb kein Zweifel bestehen, dass seit Fibonaccis Zeit den Mathematikern, und damit den magistri(s) artium allgemein, die arithmetische Teilung der s.a. bekannt war. Vermutlich gilt dies aber schon für die Zeit nach Euclid. Als weiteren Einwand gegen eine mögliche Verbreitung der Kenntnis der s.a. durch Fibonacci zur Zeit von Dufay bemerkt Tatlow zwar richtig, 122 Heron von Alexandria († nach 62 n. Ch.) in Metrica (3 Bücher). 123 Erstmals nachgewiesen bei Hammurapi I. um 1750 v. Ch. Siehe Ziegenbalg. 90 DIE ZAHL ALS STRUKTUR- UND BEDEUTUNGSTRÄGER IN DER MUSIK der s.a. durch Fibonacci zur Zeit von Dufay bemerkt Tatlow zwar richtig, dass offensichtlich schon zu Paciolis Zeit keine genauen Kenntnisse bezüglich der Person und der Lebenszeit von Fibonacci mehr bestanden. Daraus jedoch zu schließen, dass auch keine Kenntnisse bezüglich seines Werkes mehr bestanden, ist ein Fehlschluss, der an dieser Stelle nicht nachgewiesen werden muss. Von vielen Künstlern und Wissenschaftern (z.B. Euclid) haben wir genaue Kenntnisse ihrer Werke, während bezüglich ihrer Person und ihrer Lebensumstände nur rudimentäre Informationen vorliegen. Es versteht sich, dass auf Grund der allgemeinen Kenntnis der arithmetischen Formel für die s.a. deren Anwendung in den andern Teilgebieten der Mathematik, also auch der Musik, nicht nur nicht ausgeschlossen werden kann, sondern geradezu zu vermuten ist. Wie die vorliegende Arbeit zeigt, haben verschiedene Musiker eigene Arbeiten nach dem Verhältnis der s.a. strukturiert und somit dieses Wissen angewandt. Leider hat Tatlow die Originalschriften offensichtlich nicht hinreichend konsultiert. Somit dient ihre Arbeit in keiner Weise der Klärung der von ihr aufgeworfenen Fragen, sondern schafft höchstens Verwirrung. 91

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Zusammenfassung

Bachs ‚Orgelbüchlein‘ (O=B) galt bislang als musikalischer Torso. Lediglich 46 von den insgesamt 164 im Autograph eingetragenen Choraltiteln wurden auch komponiert. Felix Pachlatko liefert anhand neu entdeckter arithmetischer Strukturen im Werk den Nachweis, dass das O=B nicht nur als in seiner vorliegenden Form geplant, sondern auch als vollendet betrachtet werden muss. Dabei ist die Art und Weise, wie Bach das O=B strukturierte, nicht neuartig. Die Grundlagen dieser Verbindung von Musik und Mathematik liegen im pythagoreischen Denken begründet. Beispiele hierzu lassen sich in der Musik von der Mitte des 14. Jahrhunderts bis hin zu Bachs unmittelbaren Vorgängern finden. Neben ganzzahligen Verhältnissen und Goldenen Schnitten werden im O=B erstmals auch Magische Quadrate und ein Magischer Kubus nachgewiesen. Das anspruchsvollste Konstrukt dürfte jedoch ein äußerst genauer Goldener Schnitt sein, der die gesamte komponierte Anlage betrifft und der mit der Mitte der Cantica pro tempore zusammenfällt.