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IV. Die Magischen Quadrate in:

Felix Pachlatko

Das Orgelbüchlein von Johann Sebastian Bach, page 137 - 154

Strukturen und innere Ordnung

1. Edition 2017, ISBN print: 978-3-8288-3898-7, ISBN online: 978-3-8288-6701-7, https://doi.org/10.5771/9783828867017-137

Series: Wissenschaftliche Beiträge aus dem Tectum Verlag: Musikwissenschaft, vol. 9

Tectum, Baden-Baden
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DIE MAGISCHEN QUADRATE IV. Die Magischen Quadrate Nachfolgend werden mathematische Strukturen dargestellt, die der sichtbaren Anlage überlagert sind. Ihr Zahlenmaterial ist zwar direkt der sichtbaren Anlage entnommen, ohne jedoch unmittelbar an einer korrespondierenden geistlichen Aussage zu partizipieren. Es handelt sich um gleichzeitige Kompositionen auf einer mathematischen Metaebene. Diese Kompositionen sind wesentlich einfacher als die Kompositionen mit Tönen; es liegt ihnen im Grunde einfache Kombinatorik und Arithmetik zugrunde. Das Besondere ist die Gleichzeitigkeit. Dabei war in der Planung und der weiteren Arbeit am O=B notwendigerweise nicht die Komposition der Zahlen die Variable, sondern diejenige der Töne. Im Verlaufe der nachfolgenden Kapitel wird ersichtlich, wie eng Bach das mathematische Korsett geschnürt hat. Dass er in die Vorgabe dieses engen Korsetts hinein noch Musik dieser Qualität hat komponieren können, zeigt seine Genialität. Mit einem Augenzwinkern wird man zwar ab und zu wahrnehmen, dass er musikalische Kompromisse eingehen musste, die auf diese Einengung zurückzuführen sind. Solche Anpassungen werden in erster Linie im Kapitel VI sichtbar. Bedenkt man die Komplexität der gestellten Puzzleaufgabe, kann man jedoch nur staunen, wie Bach die Aufgabe gelöst hat. Die Rede ist hier von der Konstruktion Magischer Quadrate.248 In diesem Kapitel sollen mehrere solcher Quadrate beschrieben werden, deren Existenz im O=B bisher nicht nachgewiesen wurde.249 Ihre Aufdeckung wirft ein völlig neues Licht auf die Fragen der Absicht, der Planung, des Arbeitsablaufs und der Vollendung des O=B. Freilich steht die Entdeckung solcher Magischer Quadrate bereits in einer gewissen Tradition, denn die Erforschung von Zahlenfiguren im Werk Bachs ist keineswegs neu. Verschiedene Forscher haben sich bereits kompetent mit diesem Thema beschäftigt und in verschiedenen Werken und Zyklen zahlreiche Magische Figuren nachgewiesen. Thijs Kramer hat in seiner Dissertation, die als Grundlagenarbeit auf diesem Gebiet bezeichnet werden muss, die bisherigen Kenntnisse dargelegt und diese mit vielen eigenen Forschungsergebnissen erweitert. 248 Unter einem Magischen Quadrat versteht man eine quadratische Anordnung von Zahlen, bei der die Zeilen, Spalten und Diagonalen die gleiche Summe bilden. Im strengen Sinne darf jede Zahl nur einmal vorkommen. Bei gematrisch begründeten Quadraten kommt es jedoch zwangsläufig zu Dupla. 249 Kramer, S. 91 ff. vermutet, dass die Magischen Figuren im WTC I die ersten im Werk Bachs sind. Die folgenden Beispiele zeigen, dass es offensichtlich schon frühere gibt. 137 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Maßgeblich und als erste haben sich die beiden Niederländer Henk Dieben und Jacques Bronkhorst mit Zahlenarchitektur und Magischen Figuren befasst, die sie im Wohltemperirten Clavier 1, den Inventionen und Sinfonien und der Kunst der Fuge gefunden haben.250 Bei diesen Magischen Figuren handelt es sich ausschließlich um Magische Rechtecke.251 Erst Kramer konnte aus den Magischen Rechtecken Magische Quadrate extrahieren.252 Vor der Darstellung von Magischen Quadraten im O=B sollen hier kurz die Rahmenbedingungen genannt sein, die gegeben sein müssen, damit überhaupt ein Quadrat gebildet werden kann. Eine genaue Anleitung für die Konstruktion von Magischen Quadraten ist in der Arithmetica integra von Michael Stifel zu finden, auf die schon im Kapitel Einleitung hingewiesen wurde.253 – Die Anzahl der Summanden (oder 'Termen') muss eine Quadratzahl sein, z. B. 16, 25, 36, 49, 64 etc. – Die Gesamtsumme der Termen muss durch die Wurzel der Quadratzahl teilbar sein. Diese Wurzelzahl bestimmt die Anzahl der Zeilen und Spalten. Als erstes Beispiel sei eines der berühmtesten Quadrate angeführt, das sogenannte Dürer-Quadrat.254 Es hängt als Bild in Albrecht Dürers Stich Melencolia I. Dieser Stich gehört zu seinen großartigsten und rätselhaftesten Werken. Seine reiche Symbolik lässt sich noch immer nur unvollständig deuten.255 An dieser Stelle soll, aus der Fülle herausgegriffen, nur auf die Sonnenuhr über der Sanduhr verwiesen werden, die nur 8 Ziffern enthält und auf die Ziffer 4 weist. Die einschlägige Literatur deutet auch hier die Zahlen im Sinne, wie sie weiter unten in den Kapiteln Die Reihe der Dreifaltigkeit und irdischen Kreatur 250 Dieben und Bronkhorst waren ihrerseits angeregt durch die Erkenntnisse von Wilhelm Werker. Siehe Kramer, S. 1. 251 Dargestellt in: Kramer, S. 94 ff. 252 Grundlage für die Magischen Rechtecke bildeten die Taktsummenzahlen der 24 Praeludien und 24 Fugen des WTC1. Kramer konnte daraus 3 Magische Quadrate mit je 16 Termen ableiten. Kramer, S. 116 ff. 253 Siehe Anleitung zur Konstruktion von Magischen Quadraten in Stifel A, liber I, Cap. III, S. 24 ff. Auszug in der Einleitung. 254 Nach Lassnig ist dieses Quadrat schon bei Luca Pacioli zwischen 1496 und 1508 handschriftlich nachweisbar. Die Bezeichnung "Dürer-Quadrat" ist demnach nicht korrekt. Siehe Lassnig, S. 71. 255 Siehe Schuster, Melencolia I. Dürers Denkbild. 138 DIE MAGISCHEN QUADRATE und Die 8er-Reihe beschrieben werden. Das Blatt Melencolia I entstand im Jahre 1514, dem Todesjahr von Dürers Mutter, Barbara Holper. Dürer war damals 43 Jahre alt. Termenzahl T = 16 Wurzelzahl W = 4 Zeilen / Spalten ZS = 4 Termensumme Σ = 136 Konstante K = 34 Facsimile IV.1. Albrecht Dürer, Melencolia I. Ausschnitt Magisches Quadrat. 139 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Facsimile IV.2. Albrecht Dürer, Melencolia I. 1514. 140 DIE MAGISCHEN QUADRATE Das dargestellte 4er-Quadrat, ein sogenanntes Jupiter-Quadrat, ist "hochmagisch".256 Es besteht aus den Zahlen 1–16 und hat die Konstante 34.257 Hochmagisch ist es, weil nicht nur die Zeilen, Spalten und Diagonalen die Konstante 34 haben, sondern auch das Mittel- und die vier Eckquadrate, die Eckfelder, die opponierten Randmittelfelder, die gekippten Quadrate, die Rauten, die gleichgebrochenen Diagonalen und die aufrechten Pfeile.258 Die beiden Eckzahlen unten sind im Zahlenalphabet die Buchstaben D(ürer) A(lbrecht) und die beiden Mittelzahlen unten, 1514, bilden das Todesjahr von Dürers Mutter (1452–1514) und das Entstehungsjahr des Blattes, wie oben erwähnt. Zudem ist die Konstante 34 das Spiegelbild von Dürers damaligem Alter 43. Als zweites Beispiel soll ein Quadrat dargestellt werden, dessen Konstruktion Bach mit Hilfe der 27 Taktzahlen des 3. Teils der Clavierübung ermöglicht und das Thijs Kramer entdeckt hat.259 Diese Quadratkonstruktion erfolgte rund 30 Jahre später als die nachfolgend gezeigten Beispiele aus dem O=B. Die Vorgehensweise ist jedoch dieselbe. Da 27 keine Quadratzahl ist und somit keine Quadratkonstruktion zulässt, wurden von den 27 Taktzahlen 9 Gruppen mit je 3 Taktzahlen gebildet. Auf diese Weise ist die Konstruktion eines 3er-Quadrates möglich. Diese 9 Zahlen lauten: 170, 177, 184, 198, 205, 212, 226, 233 und 240 Termenzahl: T = 9 Wurzelzahl: W = 3 Summe der 9 Taktsummengruppen: Σ = 1845 (= 45 x 41) Konstante: 1845:3 = 615 K = 615 (= 15 x 41) 256 Die 3er- bis 9er-Quadrate wurden spätestens seit Paracelsus den sieben Planeten Saturn, Jupiter, Mars, Sonne, Venus, Merkur und Mond zugeordnet und es wurden ihnen magische Kräfte nachgesagt. Siehe Paracelsus, Archidoxa magica: De Sigillis Planetarum. Abbildung in Appendix IV Ergänzende Texte und Bilder. 257 Nach de Haas gibt es 1232 verschiedene 4er-Quadrate. Siehe de Haas. 258 Weitere Finessen ausführlich beschrieben bei Kramer, S. 67. 259 Siehe Kramer, S. 184 f. 141 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH 212 226 177 170 205 240 233 184 198 Tabelle IV.1. Taktsummenquadrat 1 im 3. Teil der Clavierübung. Auf den ersten Blick mag die Problemstellung etwas kompliziert wirken. Im Grunde handelt es sich jedoch um eine Puzzleaufgabe, die nur ein Minimum an mathematischen Kenntnissen voraussetzt. So sind Magische Quadrate mit etwas Übung in wenigen Minuten im Kopf auszurechnen.260 Komplizierter wird es hingegen, wenn schwierige Parameter vorgegeben sind. Dann kann die Planung einer solchen Figur hohe Anforderungen stellen. Im Kontext dieser Arbeit heißt dies, dass nicht die Konstruktion der Quadrate das Hauptproblem darstellte, sondern die Bereitstellung des dazu notwendigen Zahlenmaterials. Üblicherweise gilt als Grundbedingung für die Konstruktion von Magischen Quadraten, dass die einzelnen Termen nur einmal vorkommen dürfen. Sogenannte Dupla sind an sich nicht erlaubt. Ausnahmen müssen beispielsweise dann toleriert werden, wenn die Termen noch in andere Konstruktionen eingebunden und somit nicht frei wählbar sind. Dies betrifft alles Zahlenmaterial, das Bach aus dem Zahlenalphabet gewann. Hier sind wegen nur 24 möglicher Zahlen Dupla unvermeidlich und kommen daher häufig vor.261 Bevor nun die gefundenen Quadrate dargestellt werden sollen, müssen zwei Problemfragen angesprochen werden, die erst in den nachfolgenden Kapiteln näher behandelt werden können. Beide Probleme spielen nämlich direkt in die Konstruktion der nachfolgenden Quadrate hinein. Das eine Problem betrifft die Wiederholungsfrage in BWV 603 Puer natus, das andere das Fragment von O Traurigkeit, o Herzeleid.262 Während in den folgenden Ausführungen die später im Kapitel VI beschriebene und postulierte Lösung der Frage der Schlussbildung von BWV 603 tatsächlich bestätigt wird,263 klärt sich auch die Frage, welche Bewandtnis es mit dem Fragment O Traurigkeit, o Herzeleid hat. 260 Von Kramer auf S. 87 ff. launig demonstriert. 261 Ausnahmen bilden hier das Positionenquadrat und v.a. das Seitenzahlenquadrat. 262 Siehe im Kapitel VI.3 Die Fibonacci-Folge BWV 603. 263 Der Tenor von BWV 603 schließt mit h / b, wie der Custos im Autograph andeutet. Siehe Kapitel VI.3 Die Fibonacci-Folge. 142 DIE MAGISCHEN QUADRATE IV.1. Das Taktsummenquadrat Als Zahlenmaterial dient auch hier, wie in den meisten vergleichbaren Fällen, etwa im Wohltemperirten Clavier oder in der Kunst der Fuge, die Anzahl der Takte der einzelnen Werke.264 Im Falle des O=B kommt bezüglich der Verwendung der Taktzahlen – unter der Voraussetzung, dass stets das ganze Material verwendet werden soll – nur eine Anordnung für ein Magisches Quadrat in Frage, nämlich die Zählung der 49 effektiv komponierten Choralstrophen. Dies bedeutet, dass die drei Verse von Christ ist erstanden265 und die beiden Varianten von Liebster Jesu, wir sind hier einzeln gezählt werden müssen und dass auch das Fragment O Traurigkeit, o Herzeleid eingerechnet werden muss. Auf diese Weise werden 49 Termen erreicht, die die Konstruktion eines 7er-Quadrates ermöglichen. Dabei zeigt sich, dass zum Erreichen einer quadratfähigen Gesamttaktsumme erstens BWV 603 mit vier Strophen zu rechnen ist und zweitens das Fragment O Traurigkeit, o Herzeleid Fragment bleiben muss.266 Das Hauptproblem zur Bildung eines Magischen Quadrates ist normalerweise, die Grundvoraussetzung einer Gesamtsumme zu schaffen, die durch die Wurzelzahl der Anzahl der Termen teilbar ist. Dieses Problem entschärft Bach jedoch im Falle des Taktsummenquadrates, indem er eine der Termen als Variable einsetzt. Durch das bewusste Offenlassen der Länge, nämlich der Anzahl der Wiederholungen von Puer natus, gewinnt Bach die Möglichkeit etwas größerer Flexibilität zum Erreichen einer solchen Gesamtsumme. Das Taktsummenquadrat hat 49 Termen. Die Gesamtsumme muss also durch 7 teilbar sein, damit je 7 Zeilen und Spalten gebildet werden können. Ist die Gesamtsumme der Taktzahlen aller 49 Choralstrophen jedoch nicht durch 7 teilbar, kann mit Hilfe von Wiederholungen von Puer natus eine durch 7 teilbare Summe erreicht werden. Dabei müsste Puer natus maximal sechsmal wiederholt werden.267 Theoretisch wäre es deshalb möglich, dass mit Hilfe der 10 Strophen von Puer natus zwei Gesamtsummen erreicht werden, die durch 7 teilbar sind. Damit wäre die Basis für zwei solche Quadrate gegeben. Mit insgesamt vier zu spielenden Strophen wird diese Grund- 264 Kramer, S. 91 ff., dargestellt an WTC I, Clavierübung III, Magnificat und Kunst der Fuge. 265 Sie sind explizit überschrieben mit Versus 1, 2 und 3. 266 Eine Beurteilung dieses Sachverhalts erfolgt im Kapitel IV.5. 267 Voraussetzung ist allerdings, dass die Taktsumme von Puer natus nicht durch 7 teilbar ist. Dies ist bei Puer natus der Fall. Das Lied hat 16 Takte und 10 Strophen. 143 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH voraussetzung aber nur einmal erreicht.268 Durch die dreifache Wiederholung, das Spielen also von insgesamt vier Strophen, entsteht mit 64 Takten jedoch eine relativ große Terme, welche die Konstruktion des Quadrates erschwert. Auch wenn Bach eine Lösung des Problems mit den genannten Wiederholungen gewissermaßen erzwingt, so bleibt die Konstruktion dieses Quadrates dennoch recht knifflig. Gleichwohl ist seine Bedeutung bezüglich der Planung des O=B vermutlich relativ gering.269 Die einzelnen Choralvorspiele haben folgende Taktzahlen:270 BWV-NummerTaktzahl 59910, 60026, 60120, 6029, 60364, 60411, 60524, 60610, 60718, 60837, 60910, 61019, 61115, 61223, 61316, 61412, 61563, 61615, 61724, 61827, 61916, 62025, 62111, 62224, 62318, 62416, O Tr.1, 62516, 6269, 62718/20/23, 62816, 62919, 63027, 6318, 63217, 63320, 63420, 63520, 63612, 63716, 63814, 63918, 64010, 6419, 64215, 64316, 64410. Das Taktsummenquadrat hat folgende Struktur: Anzahl der Termen (= Taktsummen): T = 49 Wurzelzahl: W = 7 Summe der 49 Taktsummen: Σ = 917 Konstante: 917:7 =131 K = 131271 268 Um eine nächste durch 7 teilbare Summe zu erreichen, müsste Puer natus 7 weitere Male wiederholt werden. Dies bedeutet, dass das Stück insgesamt 11-mal wiederholt werden müsste. Das Lied hat jedoch nur 10 Strophen. 269 Siehe Kapitel IV.5 Die Bewertung der Magischen Quadrate. 270 Einzelne Vorspiele haben überzählige Schläge. Diese sind nicht Bestandteil eigener Takte und werden deshalb für die Ermittlung der Taktsumme nicht gezählt. Siehe Appendix III Tabelle der Parameter aller Choräle. 271 Die Taktzahlen der Choräle können außerdem der Tabelle im Appendix III entnommen werden, wo auch alle übrigen bisher bekannten arithmetischen Spielereien aufgelistet sind. Es soll an dieser Stelle nicht verschwiegen werden, dass die Zählung der Taktzahlen in der NBA unlogisch und verwirrend ist. Während bei (willkürlich) ausgeschriebenen Wiederholungen die Taktzahlen weitergezählt werden, werden sie nach Wiederholungszeichen ignoriert. 144 DIE MAGISCHEN QUADRATE Von den möglichen Lösungen sei hier eine Variante dargestellt: Tabelle IV.2. Das Taktsummenquadrat. TaktzahlBWV-Nummer Das Quadrat hat bei einer Gesamtsumme von 917 die Zeilen-, Spalten- und Diagonalenkonstante 131. Dieser Palindromzahl, welche die gespiegelten Zahlen 13 und 31 enthält, begegnet man im O=B an verschiedenen Stellen, am auffälligsten wohl bei der Darstellung der 8er-Reihe und als Konstante beim weiter unten dargestellten Initialenquadrat der 164 Choräle.272 Das dreimalige Repetieren des Chorales BWV 603 (= insgesamt 4 gespielte Strophen) und die Tatsache, dass O Traurigkeit, o Herzeleid als Fragment konzipiert werden musste, lässt, wie schon weiter oben angedeutet wurde, die Frage nach dem konzeptionellen Vorgehen Bachs aufkommen. Die Diskussion dieser Thematik soll im Anschluss an die Darstellung aller Quadrate und Reihen in der Schlussbetrachtung noch einmal aufgenommen werden. 272 Siehe Kapitel VI.4 Die 8er-Reihe: Der Neuanfang in Christus. 145 23612 10599 27618 16613 24605 20601 11604 20627 8631 16619 20633 25620 24617 18607 24622 17632 18623 20634 15611 27630 10606 19629 16624 19610 37608 15616 16625 9602 15642 1 O Tr. 16628 9626 16637 10609 64603 18627 16643 23627 18639 26600 20635 10640 12614 63615 12636 11621 10644 14638 9641 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH IV.2. Die Initialenquadrate Die im Autograph sorgfältig eingetragenen Titel bieten sich mit ihren Initialen, gemäß Zahlenalphabet umgesetzt in Zahlen, für die Quadratbildung geradezu an.273 Die arithmetischen Grundlagen sind folgende: – 164 geschriebene Titel mit 5 Doppeltiteln = insgesamt 169 (=13x13) geschriebene Titel. – 49 komponierte Choraltitel incl. 2 Doppeltitel = 49 (7x7) komponierte Choraltitel. Mit diesem Zahlenmaterial realisierte Bach ein weiteres Zahlenkonzept, wobei diesmal die Aufgabe nicht besonders schwierig war. Durch das Auftreten der immer wieder gleichen Initialen ergeben sich naturgemäß zahlreiche Dupla. Dadurch wird die Konstruktion von Quadraten erheblich erleichtert. Voraussetzung bleibt dabei dennoch immer, dass mit einer sinnvollen Quadratzahl eine stimmige Gesamtsumme der Summanden korrespondiert. Folgende Quadrate sind realisiert: – Quadrat mit der Anzahl von 47 Initialen und 2 weiteren Initialen der Doppeltitel – Quadrat mit der Anzahl von 164 Initialen und 5 weiteren Initialen der Doppeltitel Das Initialenquadrat der 49 Choräle Es stellt sich heraus, dass die Zählung der 49 Choraltitelinitialen (incl. der 2 Doppeltitel) die Konstruktion eines Quadrates mit der Wurzelzahl 7 ermöglicht: Anzahl der Termen (= Initialen): T = 49 Wurzelzahl: W = 7 Alphabetsumme der 49 Initialen: Σ = 455 Konstante: 455:7 = 65 K = 65 In der folgenden Tabelle sind die Termennummern und die Nummern im O=B mit ihren entsprechenden Initialen sowie den Initialenvalores aufgeführt. 273 Bach verwendet im Orgelbüchlein das lateinisch-deutsche 24er-Zahlenalphabet einschließlich des w, wie es seit Christoph Rudolff bekannt ist und von Henning als cabbala simplicissima bezeichnet wird. Siehe Henning, S. 46 f. 146 DIE MAGISCHEN QUADRATE Tabelle IV.3. Die Initialenvalores und das Initialenquadrat der 49 Choräle. Das Initialenquadrat der 164 Choräle Beim Rechnen mit der obgenannten Zahl 164 fragt man sich, weshalb Bach nicht die erheblich einfachere Zahl 169 zur Grundlage aller Rechenbemühungen gemacht hat, da bekanntlich 169 die Quadratzahl von 13 ist und somit die Bildung eines 13er-Quadrates ermöglichen würde. Weshalb Bach die Zahl 164 gewählt hat, wird im Exkurs bei Ad maiorem Dei gloriam untersucht. Die für die Zahl 169 fehlenden 5 Summanden lassen sich dennoch im O=B finden, und zwar in den Initialen der Doppeltitel zu den Chorälen 2 Gott durch deine Güte oder Gottes Sohn ist komen, 3 Herr Christ der ein'ge Gottes Sohn oder Herr Gott nun sey gepreiset, 46 Spiritu(s) S. gratia od’ des heilg Geistes reiche Gnad, 162 Hastu den Jesu dein Angesicht od Soll ich den Jesu und 163 Sey gegrüßet Jesu gütig od O Jesu du edle Gabe. Tatsächlich ergibt sich nun in der Gesamtsumme der Alphabetzahlen aller 169 Initialen mit der Summe von 1703 eine Zahl, die durch die Wurzelzahl von 169, 13, teilbar ist: 147 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Termnummer 1 2a 2b 3a 3b 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Nummer im O=B N G G H H L P G D V V I L J C W H D I M H O C C D Initiale 13 7 7 8 8 11 15 7 4 20 20 9 11 9 3 21 8 4 9 12 8 14 3 3 4 Initialenvalor 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Termnummer 24 25 26 26a 27 28 29a 30 31 32 33 34 36 37 38 39 40 41* 42 43 44* 45 Nummer im O=B O W H O C J C E E H K H L L D V D E I A W W A A Initiale 14 21 8 14 3 9 3 5 5 8 10 8 11 11 4 20 4 5 9 1 21 21 1 1 Initialenvalor 41* 44* 35a35b In dich hab ich gehoffet, Herr → alio Modo Alle Menschen müssen sterben → Alio modo 14 3 8 15 3 8 14 21 3 8 5 7 1 20 5 9 8 7 21 11 4 3 10 11 11 8 9 13 8 11 4 4 21 8 9 9 9 12 20 4 7 4 5 20 14 3 1 21 1 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Anzahl der Termen (= Initialen): T = 169 Wurzelzahl: W = 13 Alphabetsumme der 169 Initialen: Σ = 1703 Konstante: 1703:13 =131 K = 131 In der folgenden Tabelle sind die Nummern im O=B mit ihren entsprechenden Initialen sowie den Initialenvalores aufgeführt. 148 1 2a 2b 3a 3b 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 N G G H H L P L G D V V I L J C W H D I M H O 13 7 7 8 8 11 15 11 7 4 20 20 9 11 9 3 21 8 4 9 12 8 14 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 C C D O W H O O A O H N C J C E E H G N K K K 3 3 4 14 21 8 14 14 1 14 8 13 3 9 3 5 5 8 7 13 10 10 10 45 46a 46b 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 N S D O O H L L G A D G M H E H O D M H W V C 13 18 4 14 14 8 11 11 7 1 4 7 12 8 5 8 14 4 12 8 21 20 3 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 A E J A A H A W W D E J G D I O W I N N W W W 1 5 9 1 1 8 1 21 21 4 5 9 7 4 9 14 21 9 13 13 21 21 21 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 K I W V W W O I A M W A W F A A S A W K G W W 10 9 21 20 21 21 14 9 1 12 21 1 21 6 1 1 18 1 21 10 7 21 21 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 W A E E E W W W W E L G D O W H M A A V N C H 21 1 5 5 5 21 21 21 21 5 11 7 4 14 21 8 12 1 1 20 13 3 8 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 A H M H M G A G I A I D C C W N D N L S G J A 1 8 12 8 12 7 1 7 9 1 9 4 3 3 21 13 4 13 11 18 7 9 1 159 160 161 162a 162b 163a 163b 164 A A A H S S O S 1 1 1 8 18 18 14 18 DIE MAGISCHEN QUADRATE Tabelle IV.4. Die Titelnummern, Initialen, Initialenvalores und das Initialenquadrat der 169 Choräle. Es sei nochmals auf die Eigentümlichkeiten dieser in unserem Zusammenhang schon mehrfach in Erscheinung getretenen Zahl 131 hingewiesen: – Sie ist sowohl ein Palindrom wie eine Primzahl und enthält im Schriftbild die Zahlen 13 und 31 (siehe Kapitel IV.1 und VI.4). – Das Zahlenbild von 13x131 ergibt die regelmäßige Zahlenfolge 1, 3, 1, 3, 1. – Die Zahl 131 ist ebenfalls Konstante des Taktsummenquadrates. Dass die Zahl 1703 ein Hinweis darauf sein könnte, dass Bach in diesem Jahr das Orgelbüchlein begonnen hat, ist denkbar. Beginnen müsste dann wohl hei- ßen, dass Bach mit der Planung begonnen hat.274 Die Verwendung von Papier für die Herstellung des Büchleins, das möglicherweise in Arnstadt hergestellt 274 Untersuchungen an Bachs c-Moll Sonate BWV 526 zeigen, dass im dritten Teil möglicherweise das Kompositionsjahr 1727 erwähnt ist: siehe Albert Clements Aufsatz 'Zur rhythmischen Ausführung des dritten Satzes der Sonate e-Moll BWV 528 von J.S. Bach', Ars Organi 38 / 2 (1990), S. 75–83, hier 75–76. Die Art und Weise, in der die Zahlen 17 und 27 in BWV 526 zwischen 27 (J.S.) und 14 (Bach) gestellt sind, erinnert wiederum an die Lage in Dürers Quadrat, wo sich die Zahlen 15 und 14 zwischen 4 (D) und 1 (A) finden lassen (Clement, ebda, S. 76). 149 7 7 11 11 15 11 7 4 13 7 9 20 9 14 8 8 4 9 12 4 21 3 3 21 3 21 8 14 21 1 14 21 13 7 9 3 14 1 5 5 8 8 13 10 8 11 13 14 14 10 10 7 12 21 7 8 4 21 7 5 1 14 8 11 12 21 20 3 8 1 7 1 21 18 1 21 5 4 4 21 8 5 8 1 14 9 13 13 3 21 11 10 9 21 20 21 14 1 9 1 12 4 1 8 6 1 1 18 1 5 21 21 21 21 4 1 10 5 5 21 1 21 5 14 9 3 4 14 21 8 20 1 12 20 13 9 3 1 9 8 12 12 11 1 9 1 21 13 9 21 3 8 13 4 7 21 18 7 9 1 1 8 14 8 18 18 7 18 4 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH wurde, könnte dafür sprechen.275 Auch hatte Bach mit der Bestallung in Arnstadt eine Perspektive für ein so großes Projekt. Dass bis zum ersten Eintrag in das Büchlein mehrere Jahre verstrichen, wäre immerhin mit der außerordentlichen Komplexität der Planungsaufgabe zu begründen. Vorläufig muss dies alles jedoch Vermutung bleiben. IV.3. Das Positionenquadrat Das Zahlenmaterial zu dem folgenden Quadrat ergibt sich aus den Stellungsnummern der ausgeführten 49 Choralstrophen innerhalb der 164 betitelten und rastrierten Choräle.276 Bezüglich der Stellung von Vers 2 und 3 von BWV 627 steht die Frage im Raum, wie diese zu zählen sind. Da eine Stellung prinzipiell nur einmal vergeben werden kann – analog der Seitenzahlen –, können die genannten Verse nur die Stellung 0 haben. Damit ergibt sich ein einziges Duplum 0. Dieses Quadrat ist im gegebenen Kontext zweifellos eines der interessantesten. Zum einen ist es infolge Auftretens von nur einem Duplum nahezu perfekt, zum andern ist seine Konstruktion wegen der komplizierten Reihung seiner Summanden besonders anspruchsvoll. Zudem setzt es die numerische Position jedes einzelnen der 49 Choräle in der Reihe der 164 Choräle zum voraus fest. Neben der grundsätzlichen Bedeutung, die das Positionenquadrat für die Beurteilung des O=B hat, werden auch zwei Details erhellt, die bis anhin nicht erklärt werden konnten. So wird deutlich, weshalb Bach bei den beiden Vorspielen BWV 640 und 643 jeweils die alio modo-Variante komponierte und nicht die Titelvariante:277 Anzahl der Termen (= Positionsnummern): T = 49 Wurzelzahl: W = 7 Summe der 49 Positionsnummern: Σ = 1785 Konstante: 1785:7 = 255 K = 255 In der folgenden Tabelle sind die Nummer im O=B, die Positionsnummern sowie die entsprechenden Initialen aufgeführt. 275 Siehe Fußnote 181. 276 Es sind die Verse 2 und 3 von BWV 627 einzeln mitgerechnet, analog zur Taktsummenzählung im Taktsummenquadrat, wie es weiter oben beschrieben ist. 277 Im Falle von BWV 640 stützen auch die Initialenquadrate diese Begründung. 150 DIE MAGISCHEN QUADRATE Tabelle IV.5. Die Positionszahlen und das Positionenquadrat der 49 Choräle. IV.4. Das Seitenzahlenquadrat Grundlage dieses Quadrates sind die Seitenzahlen aller komponierter Choralstrophen, also inklusive der drei Verse von Christ ist erstanden und des Fragmentes von O Traurigkeit, o Herzeleid. Es spielt dabei keine Rolle, ob die Seitenzählung mit 182 oder 184 Seiten berücksichtigt wird, weil diese Frage für die Konstruktion des Quadrates nicht erheblich ist. Gezählt wurde hier aber nicht mit der im Autograph vorhandenen Paginierung (sie ist von fremder Hand), sondern mit der Zählung beim Titelblatt beginnend: 151 27 16 1 9 76 61 65 77 18 131 2 10 17 0 24 25 12 39 4 100 51 3 26 15 113 50 35 13 91 11 37 38 49 8 21 14 0 36 34 44 29 98 19 159 23 20 22 5 7 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Anzahl der Termen (= Seitennummern): T = 49 Wurzelzahl: W = 7 Summe der 49 Seitennummern: Σ = 2247 Konstante: 2247:7= 321 K = 321 Tabelle IV.6. Die Seitenzahlen und das Seitenzahlenquadrat der 49 Choräle. Dieses Quadrat ist das einzige Exemplar im O=B, das im strengen Sinne vollmagisch ist, das heißt, es gibt keine Dupla. Nach heutigem Kenntnisstand ist es überhaupt das erste bekannte von Bach konstruierte perfekte Magische Quadrat. Die Vermutung ist allerdings angebracht, dass weitere Exemplare noch der Entdeckung harren. Das Seitenzahlenquadrat war nicht einfach zu rekonstruieren. Erschwerend bei der (Re-)Konstruktion ist nämlich der Umstand, dass die verwendeten Zahlen keine regelmäßige Abfolge haben. Dies schränkt die Anzahl der möglichen Lösungen stark ein. Interessant sind die Tatsachen, dass zum einen die Konstante eine Ziffernfolge (3.2.1.) ist und zum andern die Zentrumszahl (117) den Faktor 13 (117=9x13) enthält. Der Zahlenkomplex 13-31-131-313 152 80 91 21 56 41 28 4 42 3 20 25 63 17 151 75 35 26 45 115 12 13 44 11 6 117 32 92 19 46 108 22 61 14 8 62 18 30 179 10 27 33 24 16 43 47 7 29 131 48 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Nummer in "164 Choräle" N G H L P G D V V I L J C W H D I Initialen 3 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 Seitenzahl 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29 34 35 36a36b36c 37 Nummer in "164 Choräle" M H O C C D O W H O C J C W A E Initialen 24 25 26 27 28 29 30 32 33 35 41 42 43 44 45 46 Seitenzahl 38 39 44 49 50 51 61 65 76 77 91 98 Nummer in "164 Choräle" E H K H L L D V D E I A W W A A Initialen 47 48 56 61 62 63 75 80 91 92 Seitenzahl 100113131159 108115117131151179 DIE MAGISCHEN QUADRATE ist nicht nur in den weiter oben beschriebenen Quadraten in Erscheinung getreten, sondern wird sich noch markant im Kapitel VI.4 zeigen. IV.5. Die Bewertung der Magischen Quadrate Die Bewertung der Initialenquadrate muss ihrer Anlage und ihrem Kontext entsprechend unterschiedlich und differenziert erfolgen. Den Initialenquadraten gemein ist die Tatsache, dass das zugrunde liegende Zahlenmaterial aus einem kleinen Zahlenspektrum besteht (Alphabetzahlen 1–24) und die Quadrate deshalb zahlreiche Dupla aufweisen. Dies bedeutet, dass sie die strengen mathematischen Bedingungen für die Konstruktion von Magischen Quadraten nicht erfüllen und einfach zu konstruieren sind. Es darf dabei jedoch nicht übersehen werden, dass die Initialenquadrate mit den übrigen Quadraten ein Netz bilden, in das sie ineinandergreifend eingebunden sind. Daraus folgt, dass die Konstruktion der Grundbedingungen für die Bildung dieser Quadrate sehr anspruchsvoll war. Nicht nur die Quadratzahlen hängen nämlich von der Gesamtkonstruktion ab, sondern auch die Gesamtsummen der jeweiligen Summanden und ihre entsprechende Teilbarkeit durch die Wurzelzahlen. Eine Differenz von nur einem Zähler bei einem der vielen Summanden, würde die Konstruktion zerstören. Dabei ist es völlig gleichgültig, ob die Quadrate im magischen Sinn wertvoll sind oder nicht. So erweisen sich nicht in erster Linie die einzelnen Quadrate als wertvoll, sondern die Gesamtkonstruktion. Diese Gesamtkonstruktion erforderte eine sorgfältige vorausgehende Planung, die dann im Verlaufe der Realisierung nicht mehr veränderbar war. Die Konsequenzen für die Beurteilung des O=B sind einschneidend. Folgende Details sind zu beachten: 1. Das 49er-Initialenquadrat klärt mit dem Positionenquadrat zusammen die Frage, weshalb Bach bei BWV 640 und 643 nur die alio modo-Version komponiert hat. 2. Ebenfalls geklärt ist damit die Frage, weshalb er bei der zweiten Version von Liebster Jesu, wir sind hier nicht die Bezeichnung alio Modo verwendet hat. 3. Bei der Frage nach der Beurteilung der Qualität des Taktsummenquadrates dürfen zwei Faktoren nicht übersehen werden: als Negativum sicher die 153 FELIX PACHLATKO: DAS ORGEL-BÜCHLEIN VON JOHANN SEBASTIAN BACH Tatsache, dass auch hier zahlreiche Dupla vorkommen und eine mögliche notwendige Gesamtsumme in jedem Fall erreicht werden kann, als Positivum, dass das Zahlenspektrum mit zwei Zahlen über 60 und einer 1 sehr groß ist. Dies macht die Erfüllung der Vorgaben doch kompliziert. Dass die Konstruktion auch dieses Quadrates der Planung bedurfte, ergibt sich aus seiner direkten Abhängigkeit von der Konstruktion des Goldenen Schnittes, siehe Kapitel VII.2. Im Weiteren überschneiden sich seine Parameter mit denjenigen der Rastrierungsstruktur.278 4. Das Positionen- und das Seitenzahlenquadrat sind die qualitativ besten Quadrate im O=B. Das Positionenquadrat hat ein einziges Duplum, während das Seitenzahlenquadrat gar das einzige perfekte und wirklich magische Quadrat im O=B ist. Auch ihre Konstruktion muss schon in einer frühen Phase der Planung beabsichtigt gewesen sein, denn eine Änderung war im Nachhinein nicht mehr möglich, weil beide Quadrate direkt mit den anderen Quadratkonstruktionen verknüpft sind. Auch war die einmal festgelegte Position und die damit verbundene Seitenzahl nachträglich nicht mehr veränderbar. Die Konsequenzen auf das Ganze gesehen sind folgende: – Es ist offensichtlich, dass Bach von Anfang an für das O=B von mindestens zwei Gesamtsummen der komponierten Choräle ausgegangen ist, nämlich von 45 und 49 Chorälen.279 – Die ganze Anlage muss im Vorfeld des Arbeitsbeginns weitestgehend geplant worden sein. Eine fließende Planung, wie wir dies bei Bach später immer wieder beobachten können, war nicht mehr möglich. Eine Ausnahme bildet möglicherweise die Planung der Rastrierung.280 – O Traurigkeit, o Herzeleid musste Fragment bleiben. – Es muss von der Ansicht Abschied genommen werden, dass das O=B ein Torso, das heißt, unvollendet sei. 278 Siehe Kapitel VIII Die Rastrierung. 279 Im Kapitel VII Die Mitte und der Goldene Schnitt wird noch die Möglichkeit erörtert, ob Bach für die Konstruktion dieses Parameters von den 48 vollständig komponierten Versen ausgegangen sein könnte, also ohne Einbezug des Fragmentes O Traurigkeit, o Herzeleid. 280 Siehe Kapitel VIII Die Rastrierung. 154

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References

Zusammenfassung

Bachs ‚Orgelbüchlein‘ (O=B) galt bislang als musikalischer Torso. Lediglich 46 von den insgesamt 164 im Autograph eingetragenen Choraltiteln wurden auch komponiert. Felix Pachlatko liefert anhand neu entdeckter arithmetischer Strukturen im Werk den Nachweis, dass das O=B nicht nur als in seiner vorliegenden Form geplant, sondern auch als vollendet betrachtet werden muss. Dabei ist die Art und Weise, wie Bach das O=B strukturierte, nicht neuartig. Die Grundlagen dieser Verbindung von Musik und Mathematik liegen im pythagoreischen Denken begründet. Beispiele hierzu lassen sich in der Musik von der Mitte des 14. Jahrhunderts bis hin zu Bachs unmittelbaren Vorgängern finden. Neben ganzzahligen Verhältnissen und Goldenen Schnitten werden im O=B erstmals auch Magische Quadrate und ein Magischer Kubus nachgewiesen. Das anspruchsvollste Konstrukt dürfte jedoch ein äußerst genauer Goldener Schnitt sein, der die gesamte komponierte Anlage betrifft und der mit der Mitte der Cantica pro tempore zusammenfällt.